MATEMATICOS DO SÉCULO QUINTO ANTES DE CRISTO
Há uma tendência natural da história de simplificar fatos, enaltecendo alguns personagens através de um processo de mitificação e mistificação destes personagens transformando-os em heróis realizadores de feitos extraordinários. Muitos destes fatos foram executados por outros, ou nunca foram executados. Em quanto que o herói é enaltecido e cultuado outros personagens importantes e seus feitos são esquecidos e perdem-se.
PÉRICLES
ANAXAGORAS
Nasceu em Jônia, terra de Tales.
Foi preso em Atenas por impiedade( não acreditar nos deuses), ao assegurar que o sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente e que a lua tomava seu brilho emprestado do sol ( 0 sol põe na lua seu clarão[1]). Ou seja, Anaxágoras era um homem extremamente racional como outros tantas da Grécia do século V. Escreveu um livro foi um grande sucesso: Sobre a natureza, que vendeu muitos exemplares em Atenas por um preço módico. Foi professor de Péricles que o libertou da prisão. Seduziu até mesmo Sócrates temporariamente com suas idéias cientificas. Apesar de filosofo da natureza, um físico diríamos hoje, também teve interesses matemáticos. Em quanto esteve preso ocupou-se da tentativa de quadrar o circulo. Falemos um pouco sobre este problema.
A QUADRATURA DO CIRCULO
Este problema fascinou e fascina aos matemáticos e a muitos amadores durante os dois últimos milênios: Construir um quadrado com área igual a de um circulo dado. È importante compreender que na solução deste problema só é permitido usar os chamados instrumentos euclidianos. Ou seja, uma régua não graduada que é utilizada para traçar segmentos que passem por dois pontos definidos e um compasso para construir circunferências passando por um ponto central e um segundo ponto qualquer. Este compasso difere dos modernos, pois não permite transportar distancias. Dizendo de outro modo, o compasso euclidiano se desmonta quando se levanta um de seus braços do papel.
Não se sabe qual a contribuição de Anaxágoras na tentativa de solução deste problema. Hoje, sabemos que a solução deste problema com instrumento euclidiano é impossível. Falaremos mais sobre ele posteriormente.
HIPÓCRATES DE CHIOS[2]
Era mercador, mais jovem e conterrâneo de Anaxágoras deixou sua terra e foi morar em Atenas, não era muito astuto e perdeu seu dinheiro em Bizâncio em uma fraude ou talvez tenha sido atacado por piratas, não se sabe ou certo. Em conseqüência da perda de sua fortuna se voltou ao estudo da geometria com grande sucesso. Segundo Proclus, Hipócrates escreveu uma obra chamada Elementos de geometria, um século antes da de Euclides. Esta obra foi perdida, junto com todas as outras obras matemáticas do quito século. No entanto, há um fragmento que num texto de Simplicio[3] copiado da história da matemática de Eudemo que atribui a Hipócrates o teorema abaixo:
Segmentos de círculos semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas bases.
A Tradição atribui ainda a Hipócrates muito do que está no s livros III e IV de Os Elementos de Euclides. Antes de tentarmos compreendermos o teorema acima vamos ver estudar um pouco destes dois livros.
Não é atribuída a Euclides a descoberta de nenhum teorema, Euclides apenas dentro do método dedutivo axiomático conteúdos já estudado aprofundado por outros. Assim ele teria feito com as pesquisas de Hipócrates sobre circulo presente nos livros Três e Quatro dos Elementos. Vamos ao estudo destes livros.
[1] Citamos a partir de Os Pré-Socráticos da coleção os pensadores.
[2] Não confundir com seu contemporâneo muito famoso o médico Hipocrates de Cós.
[3] Pesquisar.
quarta-feira, 5 de novembro de 2008
PItagoras e os pitagoricos
PITÁGORAS E OS PITAGÓRICOS
Pitágoras é uma figura historicamente vaga, cercado de lendas e mitos. Mistura de cientista, profeta e místico. Ao que parece nasceu no ano 572 a.C.na ilha de Samos. É quase certo que tenha sido discípulo de Tales, fez varias viagens, passado pelo Egito, Babilônia e talvez até a Índia. Em suas viagens aprendeu matemática, astronomia, e também muitas idéias religiosas. De volta ao mundo grego estabeleceu-se onde agora é a Itália, em Crotona. Fundou uma seita secreta, hoje chamada de escola Pitagórica, uma irmandade que além de dedicar-se a filosofia, matemática e ciências naturais dedicavam-se ainda a misteriosos ritos secretos.
CRENÇAS E DOGMAS PITAGORICOS
De longas viagens Pitágoras incorporou não apenas a ciência primitiva, mas também várias crenças religiosas, políticas e filosóficas.
Cresça na reencarnação ou transmigração das almas. As pessoas podiam reencarnar até mesmo em animais. Devido a está crença os pitagóricos não se alimentavam de carne, pois o animal morto poderia ser a nova morada de um amigo.
Eram politicamente conservadores apoiando as aristocracias e mesmo tiranos. As forças democráticas destruíram vários prédios e fez que com a escola se espalhasse por toda a Grécia, divulgando suas doutrinas e conquistando discípulos.
Crença que a causa última das várias características do homem e da matéria são as números (inteiros positivos). Tudo é número. Em outras palavras os pitagóricos criam que os números governam o mundo.Então, nada mais justo que cultuar os números e estudar sua natureza e propriedades, são eles os criadores da primeiras teorias dos números.
ARITMETICA PITAGORICA
Antes de qualquer coisa é preciso saber que os gregos faziam uma distinção entre aritmética e logística. A primeira trata das relações abstratas entre números e suas propriedades, a segunda trata da arte prática de cálculo necessária em todos os momentos da vida cotidiana. Chamamos hoje de teoria dos números o que era para os gregos era aritmética, e de aritmética a arte prática de cálculo.
Para enaltecer os ideais da fraternidade os pitagóricos criaram os números amigáveis e os perfeitos. Vejamos cada um deles em detalhes.
Dois números de dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores inteiros positivos do outro, excluindo esse outro número. Exemplo 284 e 220. Os divisores de 220, excluído ele mesmo, são1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55,110 cuja soma é 284. E os divisores de 284, excluído ele mesmo, são 1,2,4,71,142 cuja a soma é 220. Atribui-se a Pitágoras a criação da superstição que dois talismãs contendo esses números selariam uma amizade perfeita entre que os usasse. Outros números amigáveis 17.296 e 18.416, descobertos por Fermat em 1636.
Pitágoras é uma figura historicamente vaga, cercado de lendas e mitos. Mistura de cientista, profeta e místico. Ao que parece nasceu no ano 572 a.C.na ilha de Samos. É quase certo que tenha sido discípulo de Tales, fez varias viagens, passado pelo Egito, Babilônia e talvez até a Índia. Em suas viagens aprendeu matemática, astronomia, e também muitas idéias religiosas. De volta ao mundo grego estabeleceu-se onde agora é a Itália, em Crotona. Fundou uma seita secreta, hoje chamada de escola Pitagórica, uma irmandade que além de dedicar-se a filosofia, matemática e ciências naturais dedicavam-se ainda a misteriosos ritos secretos.
CRENÇAS E DOGMAS PITAGORICOS
De longas viagens Pitágoras incorporou não apenas a ciência primitiva, mas também várias crenças religiosas, políticas e filosóficas.
Cresça na reencarnação ou transmigração das almas. As pessoas podiam reencarnar até mesmo em animais. Devido a está crença os pitagóricos não se alimentavam de carne, pois o animal morto poderia ser a nova morada de um amigo.
Eram politicamente conservadores apoiando as aristocracias e mesmo tiranos. As forças democráticas destruíram vários prédios e fez que com a escola se espalhasse por toda a Grécia, divulgando suas doutrinas e conquistando discípulos.
Crença que a causa última das várias características do homem e da matéria são as números (inteiros positivos). Tudo é número. Em outras palavras os pitagóricos criam que os números governam o mundo.Então, nada mais justo que cultuar os números e estudar sua natureza e propriedades, são eles os criadores da primeiras teorias dos números.
ARITMETICA PITAGORICA
Antes de qualquer coisa é preciso saber que os gregos faziam uma distinção entre aritmética e logística. A primeira trata das relações abstratas entre números e suas propriedades, a segunda trata da arte prática de cálculo necessária em todos os momentos da vida cotidiana. Chamamos hoje de teoria dos números o que era para os gregos era aritmética, e de aritmética a arte prática de cálculo.
Para enaltecer os ideais da fraternidade os pitagóricos criaram os números amigáveis e os perfeitos. Vejamos cada um deles em detalhes.
Dois números de dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores inteiros positivos do outro, excluindo esse outro número. Exemplo 284 e 220. Os divisores de 220, excluído ele mesmo, são1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55,110 cuja soma é 284. E os divisores de 284, excluído ele mesmo, são 1,2,4,71,142 cuja a soma é 220. Atribui-se a Pitágoras a criação da superstição que dois talismãs contendo esses números selariam uma amizade perfeita entre que os usasse. Outros números amigáveis 17.296 e 18.416, descobertos por Fermat em 1636.
Tales4
A tradição e fontes antigas fazem referencias a alguns trabalhos práticos de tales, vejamos esses trabalhos:
1. Medição da altura da pirâmide egípcia a partir da sombra da pirâmide.
2. Predição de um eclipse solar.
3. Calculo da distancia de um navio no mar por semelhança de triângulos.
Segundo Freudedenthal[1], um educador matemático holandês, o método utilizado por tales foi o seguinte: na figura 4, o navio está em A e BC é a linha do litoral. Seja AB um segmento perpendicular à costa. Coloque um poste em C. Prolongue BC, na extensão do seu comprimento, de sorte que . A partir de D vá para o interior , perpendicular a CD, até ver o poste C alinhado com o navio A. Quando isto acontecer no ponto E, basta medir DE na terra , então você terá encontrado a distancia procurada.
[1] Citado por Antonio José Lopes Bigode página 149 em Matemática Atual, 8º serie, , São Paulo,Atual, 1994.
1. Medição da altura da pirâmide egípcia a partir da sombra da pirâmide.
2. Predição de um eclipse solar.
3. Calculo da distancia de um navio no mar por semelhança de triângulos.
Segundo Freudedenthal[1], um educador matemático holandês, o método utilizado por tales foi o seguinte: na figura 4, o navio está em A e BC é a linha do litoral. Seja AB um segmento perpendicular à costa. Coloque um poste em C. Prolongue BC, na extensão do seu comprimento, de sorte que . A partir de D vá para o interior , perpendicular a CD, até ver o poste C alinhado com o navio A. Quando isto acontecer no ponto E, basta medir DE na terra , então você terá encontrado a distancia procurada.
[1] Citado por Antonio José Lopes Bigode página 149 em Matemática Atual, 8º serie, , São Paulo,Atual, 1994.
Tales3
1. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas são iguais. (Comentamos este teorema acima.).
2. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro , então os triângulos são congruentes.
Comentários:
Considere dois triângulos quaisquer, por exemplo o ∆ABC e o ∆DEF, onde e
2. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro , então os triângulos são congruentes.
Comentários:
Considere dois triângulos quaisquer, por exemplo o ∆ABC e o ∆DEF, onde e
No pensamento dos escribas babilônicos e egípcios era obvio que o ângulo a era congruente ao b. Na dúvida bastava recorta a figura e sobrepor os ângulos a e b. Tales não achou suficiente. De a seguinte explicação: a soma do ângulo a com o b é igual ao ângulo raso, o mesmo acontece com a soma de b com c. logo estas somas são iguais. Subtraindo b do primeiro e segundo membro obtemos a igualdade entre a e b.
Em símbolos:
:
Com esse tipo de raciocínio Tales , segundo a tradição , inventou uma nova matemática que o alcance não demorou a ser percebido, talvez, em primeira mão por Pitágoras e deus discípulos.
Proclus atribui a Tales quatro teoremas:
1. Um círculo é bissectado pelo seu diâmetro.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
Comentários: Sabemos que um triângulo é isósceles se tem dois lados com mesma medida, na figura 2, temos méd.(AB)=med(AC). O lado com medida diferente, no caso CB, é chamado base. O que o teorema afirma é que o.
Em símbolos:
:
Com esse tipo de raciocínio Tales , segundo a tradição , inventou uma nova matemática que o alcance não demorou a ser percebido, talvez, em primeira mão por Pitágoras e deus discípulos.
Proclus atribui a Tales quatro teoremas:
1. Um círculo é bissectado pelo seu diâmetro.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
Comentários: Sabemos que um triângulo é isósceles se tem dois lados com mesma medida, na figura 2, temos méd.(AB)=med(AC). O lado com medida diferente, no caso CB, é chamado base. O que o teorema afirma é que o.
Tales 1
Tales nasceu na cidade de Mileto por volta do ano 625 a.C. era mercador o que lhe possibilitou viajar par diversos lugares, principalmente para o Egito e Babilônia onde teve condição de obter vastos conhecimentos sobre filosofia, matemática e astronomia. A tradição diz que Tales foi primeiro dos filósofos e o primeiro dos sete sábios.
Em suas viagens pelo Egito aprendeu a matemática prática egípcia e aperfeiçôo-a aplicando–a na resolução de problemas como cálculo da altura de uma pirâmide e principalmente investigando de modo mais intimo alguns conhecimentos considerados óbvios para os escribas egípcios como o que hoje chamamos de teorema dos ângulos opostos pelos vértices (o.p.v.), veja a figura 1.
Em suas viagens pelo Egito aprendeu a matemática prática egípcia e aperfeiçôo-a aplicando–a na resolução de problemas como cálculo da altura de uma pirâmide e principalmente investigando de modo mais intimo alguns conhecimentos considerados óbvios para os escribas egípcios como o que hoje chamamos de teorema dos ângulos opostos pelos vértices (o.p.v.), veja a figura 1.
A matematica egipicia
Os antigos egípcios inventaram um material parecido com papel, o papiro. Esse material era feito de juncos de uma planta aquática que após cortado em tiras e seco ao sol podia ser usado para a escrita. Também usavam para escrita ao pergaminho feito com couro de carneiro. Muitos de papiros foram encontrados, traduzidos e estudados. Sabe-se que a matemática egípcia era inferior à babilônica. Tinham um sistema de numeração aditivo bem desenvolvido que permitiam realizar multiplicações e divisões com rapidez. Trabalhavam com frações e algumas notações algébricas elementares.Tinham conhecimento prático de geometria que possibilitou a construção das grandes pirâmides.
A matemaica Babilonica
FONTES
Os babilônios escreviam em pequenos blocos de argila. Muitas desses blocos foram encontradas, traduzidas. Há aproximadamente 400 que tratam de matemática. Ou seja, temos bastantes informações sobre a matemática da Babilônia.
Esses blocos mostram que a matemática babilônica era essencialmente prática. Calculavam juros simples e composto. Tinham tabelas de exponenciais. Elaboraram um calendário.
A GEOMETRIA BABILÔNICA
Em geometria, calculavam áreas de retângulos, triângulos, trapézio retângulo e volume de paralelepípedo. Conheciam o teorema posteriormente atribuído a Pitágoras. Desenvolveram uma álgebra retórica. Resolviam equações do segundo grau pelo método de completar quadrados e sistema de equações por um método da substituição.
Os babilônios escreviam em pequenos blocos de argila. Muitas desses blocos foram encontradas, traduzidas. Há aproximadamente 400 que tratam de matemática. Ou seja, temos bastantes informações sobre a matemática da Babilônia.
Esses blocos mostram que a matemática babilônica era essencialmente prática. Calculavam juros simples e composto. Tinham tabelas de exponenciais. Elaboraram um calendário.
A GEOMETRIA BABILÔNICA
Em geometria, calculavam áreas de retângulos, triângulos, trapézio retângulo e volume de paralelepípedo. Conheciam o teorema posteriormente atribuído a Pitágoras. Desenvolveram uma álgebra retórica. Resolviam equações do segundo grau pelo método de completar quadrados e sistema de equações por um método da substituição.
As sociedades antigas
Por volta do ano 5000 antes de cristo, em algumas partes do mundo os povos foram impelidos para agricultura em função de mudanças no clima do mundo. No oriente Médio, na áfrica, na Ásia as savanas viram desertos, os rios secam e os animais que viviam nessas regiões desaparecem e o homem já não pode mais viver da caça. Fixa-se, então, na margem de grandes rios. Isto é, adota um estilo de vida sedentário, constroem aldeias, vilas, cidades. Surge uma organização política chamada cidade-estado: um pequeno reino que não passa de uma vila( região urbana) cercada por uma região rural. Em algum momento esta cidades-estado se unificam e formam estados maiores e até impérios.
Surge então uma burocracia religiosa que cuida da administração, cria a escrita, matem diversos registro. E tem tempo livre para dedicar-se aos mistérios da natureza e da ciência. O comércio também se desenvolve.
Não esqueçamos, no entanto que a maioria da população vivia da agricultura e não tinha tempo para os luxos dos sacerdotes.
A descrição acima corresponde muito bem ao que aconteceu na babilônia e no Egito. Vamos comentar então a matemática destes povos.
Surge então uma burocracia religiosa que cuida da administração, cria a escrita, matem diversos registro. E tem tempo livre para dedicar-se aos mistérios da natureza e da ciência. O comércio também se desenvolve.
Não esqueçamos, no entanto que a maioria da população vivia da agricultura e não tinha tempo para os luxos dos sacerdotes.
A descrição acima corresponde muito bem ao que aconteceu na babilônia e no Egito. Vamos comentar então a matemática destes povos.
Euclides
Euclides foi um homem que, possivelmente, não descobriu sequer uma só lei importante da geometria. No entanto, ele é o mais famoso geômetra já conhecido, e por boas razões: foi através de sua janela que, durante milênios, as pessoas olharam primeiramente quando contemplaram a geometria. Atualmente, ele é o nosso garoto-propaganda da primeira grande revolução no conceito do espaço - o nascimento da abstração e a idéia de demonstração.
O conceito de espaço começou, naturalmente, como um conceito de lugar, o nosso lugar, a Terra. Começou com um desenvolvimento técnico que os egípcios e os babilônios chamavam de "medida da terra". A palavra grega para isto é geometria, mas os assuntos não são totalmente iguais. Os gregos foram os primeiros a perceber que a natureza poderia ser entendida usando-se a matemática - que a geometria poderia ser aplicada para revelar, não apenas para descrever. Desenvolvendo a geometria a partir de descrições simples de pedra e areia, os gregos extraíram as idéias de ponto, linha e plano. Retirando a cortina que encobria a matéria, eles revelaram uma estrutura possuidora de uma beleza que a civilização nunca tinha visto antes. No clímax desta luta para inventar a matemática destaca-se Euclides. A história de Euclides é uma história de revolução. É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do nascimento da própria razão.
O conceito de espaço começou, naturalmente, como um conceito de lugar, o nosso lugar, a Terra. Começou com um desenvolvimento técnico que os egípcios e os babilônios chamavam de "medida da terra". A palavra grega para isto é geometria, mas os assuntos não são totalmente iguais. Os gregos foram os primeiros a perceber que a natureza poderia ser entendida usando-se a matemática - que a geometria poderia ser aplicada para revelar, não apenas para descrever. Desenvolvendo a geometria a partir de descrições simples de pedra e areia, os gregos extraíram as idéias de ponto, linha e plano. Retirando a cortina que encobria a matéria, eles revelaram uma estrutura possuidora de uma beleza que a civilização nunca tinha visto antes. No clímax desta luta para inventar a matemática destaca-se Euclides. A história de Euclides é uma história de revolução. É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do nascimento da própria razão.
O SONHODE DEUS NA CRIAÇÃO DESTRUÍDO PELO HOMEM
Ao final, o homem destruiu o seu mundo que se chamava Terra.
A Terra havia sido linda até que o espírito do homem
Se moveu sobre a sua face e destruiu todas as coisas...
E disse o homem: "Que haja Trevas!"
E ao homem pareceram boas as Trevas,
E deu a elas o nome de: "Segurança, Ordem, Progresso"
E dividiu a si mesmo em raças, religiões e classes sociais.
E uns homens ficaram explorando muitos outros,
E umas nações ficaram dominando muitas outras.
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sétimo dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja um governo forte
Para reinar sobre nós em nossas Trevas.
Que haja exércitos para se matarem mutuamente
Defendendo a ordem e eficiência em nossas Trevas.
Cacemos para destruí-los
Àqueles que nos dizem a verdade, aqui e até os confins da terra.
Porque nós gostamos das nossas Trevas".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sexto dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja pena de morte
Para aqueles que nos incomodam.
Que haja câmaras de gás e fornos crematórios
Para aqueles que discordam de nos.
Que haja foguetes programados e bombas químicas
Para vingar-nos dos nossos inimigos.
Antes de tudo, que cada um defenda seus próprios interesses,
E que vença o mais forte!"
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quinto dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja drogas e todo tipo de
Fuga e alienação para esquecer o nosso vazio,
Para compensar as nossas frustrações,
Para aliviar nossas moléstias.
Que todo abuso seja permitido, mesmo corrompendo
Nossas mentes e nossos corações".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quarto dia antes do final...
E disse o homem: "Matemos nossa Mãe Terra
Para roubar suas riquezas.
Arrasemos suas florestas e animais,
Poluamos suas águas e o seu ar.
Adoremos por primeiro o Capital; ele e o nosso pai.
Veneremos o dinheiro e lutemos pelo lucro;
Isto é o principal".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No terceiro dia antes do final...
E, por fim, disse o homem:
"Façamos Deus à nossa imagem e semelhança
De modo que nenhum outro deus nos faça concorrência.
Proclamemos que Deus pensa assim como nós pensamos
E que odeia assim como nós odiamos
E que mata como nós matamos".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
Neste segundo dia antes do final...
No último dia, o homem e a mulher
Desligaram-se definitivamente de Deus
E da sua Palavra.
E houve um grande estrondo sobre a face da Terra.
O fogo atômico queimou o lindo globo terrestre
E houve silencio...
E viu o Senhor Deus
Tudo quando havia feito o homem...
E no silêncio
Que envolvia os restos fumegantes,
Deus chorou.
( anônimo)
Ao final, o homem destruiu o seu mundo que se chamava Terra.
A Terra havia sido linda até que o espírito do homem
Se moveu sobre a sua face e destruiu todas as coisas...
E disse o homem: "Que haja Trevas!"
E ao homem pareceram boas as Trevas,
E deu a elas o nome de: "Segurança, Ordem, Progresso"
E dividiu a si mesmo em raças, religiões e classes sociais.
E uns homens ficaram explorando muitos outros,
E umas nações ficaram dominando muitas outras.
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sétimo dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja um governo forte
Para reinar sobre nós em nossas Trevas.
Que haja exércitos para se matarem mutuamente
Defendendo a ordem e eficiência em nossas Trevas.
Cacemos para destruí-los
Àqueles que nos dizem a verdade, aqui e até os confins da terra.
Porque nós gostamos das nossas Trevas".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sexto dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja pena de morte
Para aqueles que nos incomodam.
Que haja câmaras de gás e fornos crematórios
Para aqueles que discordam de nos.
Que haja foguetes programados e bombas químicas
Para vingar-nos dos nossos inimigos.
Antes de tudo, que cada um defenda seus próprios interesses,
E que vença o mais forte!"
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quinto dia antes do final...
E disse o homem: "Que haja drogas e todo tipo de
Fuga e alienação para esquecer o nosso vazio,
Para compensar as nossas frustrações,
Para aliviar nossas moléstias.
Que todo abuso seja permitido, mesmo corrompendo
Nossas mentes e nossos corações".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quarto dia antes do final...
E disse o homem: "Matemos nossa Mãe Terra
Para roubar suas riquezas.
Arrasemos suas florestas e animais,
Poluamos suas águas e o seu ar.
Adoremos por primeiro o Capital; ele e o nosso pai.
Veneremos o dinheiro e lutemos pelo lucro;
Isto é o principal".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No terceiro dia antes do final...
E, por fim, disse o homem:
"Façamos Deus à nossa imagem e semelhança
De modo que nenhum outro deus nos faça concorrência.
Proclamemos que Deus pensa assim como nós pensamos
E que odeia assim como nós odiamos
E que mata como nós matamos".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
Neste segundo dia antes do final...
No último dia, o homem e a mulher
Desligaram-se definitivamente de Deus
E da sua Palavra.
E houve um grande estrondo sobre a face da Terra.
O fogo atômico queimou o lindo globo terrestre
E houve silencio...
E viu o Senhor Deus
Tudo quando havia feito o homem...
E no silêncio
Que envolvia os restos fumegantes,
Deus chorou.
( anônimo)
sexta-feira, 31 de outubro de 2008
desfile do sete de setembro
Temos fotos da nossa rainha, a aluna Lidiane, e do companheiro Edsson e companheira Rayane, todos do segundo ano B tardePROBLEMAS DE CONTAGEM
01. Duas linhas de ônibus vão de uma cidade A para uma cidade B e três linhas vão da cidade B para uma C. De quantos modos diferentes um usuário dessas linhas pode ir de A para C, passando por B?
02. Quantos números naturais de quatro algarismos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
03. Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5. 6 ,7e 9?
04. Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 3, 4. 5, 6,7, 8 e9?
05. Quantos números pares e positivos de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3,4, 5, 6, 7,8 e 9?
06. Quatro linhas de ônibus unem a cidade A à cidade B e três linhas unem a cidade B à cidade C. Um usuário vai viajar de A para C passando por B e vai voltar para A, passando novamente por B. De quantos modos diferentes esse usuário poderá escolher as linhas, se na volta ele não puder usar a linha que usou na ida?
07. Oito atletas participam de uma corrida. Serão premiados apenas os três primeiros lugares. De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos?
08. Uma prova é constituída por dez testes do tipo "verdadeiro ou falso". De quantas maneiras diferentes um candidato poderá responder aos dez testes, não deixando nenhum sem resposta e assinalando apenas uma alternativa em cada um?
09. Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados com os dígitos l, 2, 3, 4. 5, 6 e 7, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos?
10. Uma placa de automóvel é formada por três letras seguidas de quatro algarismos; por exemplo: BNP0339. Quantasplacas podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos dezalgarismos do sistema decimal? (Incluímos as letras Y, W e K.)
Principio fundamental da contagem – Se um experimento A apresenta n resultados distintos e um experimento B apresenta m resultados distintos, então o experimento composto de A e B, nessa ordem, apresenta n.m resultados distintos.
GABARITO DO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
1) 6 2) 2401 3) 840 4)5880 5.)90 6)72 7) 336 8)1024 9) 72030 10)263.104 - 263=175742424
02. Quantos números naturais de quatro algarismos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
03. Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5. 6 ,7e 9?
04. Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 3, 4. 5, 6,7, 8 e9?
05. Quantos números pares e positivos de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3,4, 5, 6, 7,8 e 9?
06. Quatro linhas de ônibus unem a cidade A à cidade B e três linhas unem a cidade B à cidade C. Um usuário vai viajar de A para C passando por B e vai voltar para A, passando novamente por B. De quantos modos diferentes esse usuário poderá escolher as linhas, se na volta ele não puder usar a linha que usou na ida?
07. Oito atletas participam de uma corrida. Serão premiados apenas os três primeiros lugares. De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos?
08. Uma prova é constituída por dez testes do tipo "verdadeiro ou falso". De quantas maneiras diferentes um candidato poderá responder aos dez testes, não deixando nenhum sem resposta e assinalando apenas uma alternativa em cada um?
09. Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados com os dígitos l, 2, 3, 4. 5, 6 e 7, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos?
10. Uma placa de automóvel é formada por três letras seguidas de quatro algarismos; por exemplo: BNP0339. Quantasplacas podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos dezalgarismos do sistema decimal? (Incluímos as letras Y, W e K.)
Principio fundamental da contagem – Se um experimento A apresenta n resultados distintos e um experimento B apresenta m resultados distintos, então o experimento composto de A e B, nessa ordem, apresenta n.m resultados distintos.
GABARITO DO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
1) 6 2) 2401 3) 840 4)5880 5.)90 6)72 7) 336 8)1024 9) 72030 10)263.104 - 263=175742424
segunda-feira, 22 de setembro de 2008
O HOMEM QUE CALCULAVA
Um excelente livro sobre matemática é O Homem que Calculava de Malba Tahan, dele retiramos vários problemas. Mesmo que você não goste de matemática vale apenas ler este fabuloso livro que trata da sabedoria arabe ....
01. Os 35 camelos
— Somos irmãos —esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o Homem que Calculava. — Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe.
Ajude o homem que calculava a fazer a divisão.
02. A divisão dos oito pães
Um rico Cheique árabe fora assaltado e passava fome no deserto pergunta:
- Trazei alguma coisa para eu comer? Estou quase a morrer de fome.
- Tenho de resto três pães, respondi.
-Trago ainda cinco pães, afirmou o Homem que calculava.
- Pois bem , sugeriu o cheique, juntemos os pães e formemos uma sociedade. Quando chegar a Bagdá prometo pagar com 8 moedas de ouro o pão que comer.
Sabendo que os três comeram igual porção dos pães, ajude o homem que calculava a fazer a divisão das moedas.
03. Os vinte e um vazos de vinho
— Aqui estão, ó Calculista, os três amigos. São criadores de carneiros.em Damasco. Enfrentam agora um dos problemas mais curiosos que tenho visto. E esse problema é o seguinte:
— Como pagamento de pequeno lote de carneiros, receberam aqui, em Bagdá, uma partida de vinho, muito fino, composta de 21 vasos iguais, sendo:
7 cheios 7 meio-cheios e 7 vazios.
Querem, agora, dividir os 21 vasos de modo que cada um deles receba o mesmo número de vasos e a mesma porção de vinho, sem abrir os vasos.
.
-
04. Os quatros quatros
O problema dos quatro quatros é o seguinte:
'Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc."
Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números inteiros, desde O até 100.
Será necessário, em certos casos, recorrer ao sinal de fatorial (!)e ao sinal de raiz quadrada.
A raiz cúbica não pode ser empregada, por causa do índice 3.
Escreva de 0 até 100 utilizando quatro quatros.
05. A prisão perpetua
— Entre os detentos — prosseguiu o ministro— beneficiados pela lei, existe um contrabandista de Bácora, chamado Sanadique, só há quatro anos, condenado a prisão perpétua. A pena desse homem deve ser reduzida à metade. Ora, como ele foi condenado à prisão por toda a vida, segue-se que deverá ora, em virtude da lei, ser perdoado da metade da pena, ou melhor, da metade do tempo que ainda lhe resta viver. Viverá ele, ainda, 1o tempo "x", desconhecido! Como dividir ir dois um período de tempo que ignoras?
Ajude o calculista a resolver este problema!
06. Os dez saldados
Colocar 10 saldados em cinco filas, tendo cada fila 5 soldados.
07. A idade de Diofante
"Eis o túmulo que encerra Diofante — maravilha de contemplar! Com artifício aritmético a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho — desgraçado e, no entanto, bem-amado! — apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência".
Calcule a idade de Diofante.
RESPOSTAS:
Muitos perguntam sobre a solução dos problemas acima. Sugiro que adquiram o livro.
Mesmo assim vou dá algumas respostas:
Os problemas 1 e 2 tem haver com frações
O problema 5 - basta passar um dia livre e outro preso, espero que ele não fuja no dia livre!!!
o problema 6 - basta dispo-los na forma de uma estrela de cinco pontas.
Mesmo assim vou dá algumas respostas:
Os problemas 1 e 2 tem haver com frações
O problema 5 - basta passar um dia livre e outro preso, espero que ele não fuja no dia livre!!!
o problema 6 - basta dispo-los na forma de uma estrela de cinco pontas.
quarta-feira, 10 de setembro de 2008
Não quebre a cabeça!!!
Vamos propor alguns problemas simples, para meus alunos do sexto ano:
1) Tenho 20 vacas para matar em três dias, e em cada dia devo matar uma quantidade ímpar de vacas, quantas vacas devo matar em cada dia?
2) Ontem encontrei um amigo, o Thadeu Garrido, que a muito tempo eu não via. Perguntei se ele tinha filhos. Tadheu respondeu que a soma das idades de seus filhos é 8 e que o produto das idades é 10. Falou ainda que o mais nova agora é que deixou de mamar. quantos filhos tem Tadheu? qual a idade de cada um?
3) Outro amigo, o grandes professor Alcides leciona geografia e gosta de aprontar das suas. Disse-me um dia ter encontrado uma cédula de 100 dolares entre as páginas 99 e 100 da sua primeira edição ilustrada de :Os Sertões , de Euclides da Culha. Alcides está mentindo ou falando a verdade ? Justifique.
4) Ontem a noite, choveu torrencialmente em Aquiraz. É possível que 72 horas depois esteja fazendo sol em Aquiraz?
5) Qual a metade do dobro de 5?
6) Uma sala tem quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos. quantos gatos tem na sala?
7) Qual o nome completo de um taxista que passa o dia a guiar seu taxi?
8) Qual o nome completo da criança que a ama lhe alimenta com leite roubado?
9) Quantos minutos tem um dia?
10) O pai daquele padre é filho único do meu pai. O que o padre é meu?
2 - Devemos pensar em três números que multiplicados sejam 10. Esses números são 5 x 2 x 1 =10 , a soma deve ser 8 , logo 5+2+1=8.
3 - procure em qualquer livro estas páginas.
4- Veja a postagem de 10 de janeiro de 2010.
5- Essa tá fácil!
As outras ficam como desafio!!!!
1) Tenho 20 vacas para matar em três dias, e em cada dia devo matar uma quantidade ímpar de vacas, quantas vacas devo matar em cada dia?
2) Ontem encontrei um amigo, o Thadeu Garrido, que a muito tempo eu não via. Perguntei se ele tinha filhos. Tadheu respondeu que a soma das idades de seus filhos é 8 e que o produto das idades é 10. Falou ainda que o mais nova agora é que deixou de mamar. quantos filhos tem Tadheu? qual a idade de cada um?
3) Outro amigo, o grandes professor Alcides leciona geografia e gosta de aprontar das suas. Disse-me um dia ter encontrado uma cédula de 100 dolares entre as páginas 99 e 100 da sua primeira edição ilustrada de :Os Sertões , de Euclides da Culha. Alcides está mentindo ou falando a verdade ? Justifique.
4) Ontem a noite, choveu torrencialmente em Aquiraz. É possível que 72 horas depois esteja fazendo sol em Aquiraz?
5) Qual a metade do dobro de 5?
6) Uma sala tem quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos. quantos gatos tem na sala?
7) Qual o nome completo de um taxista que passa o dia a guiar seu taxi?
8) Qual o nome completo da criança que a ama lhe alimenta com leite roubado?
9) Quantos minutos tem um dia?
10) O pai daquele padre é filho único do meu pai. O que o padre é meu?
RESPOSTAS:
1 - Essas vacas são loucas!!!! Para que o mesmo não aconteça contigo vamos a resposta: o problema é impossível, pois a soma de três números impares é sempre um número impar.2 - Devemos pensar em três números que multiplicados sejam 10. Esses números são 5 x 2 x 1 =10 , a soma deve ser 8 , logo 5+2+1=8.
3 - procure em qualquer livro estas páginas.
4- Veja a postagem de 10 de janeiro de 2010.
5- Essa tá fácil!
As outras ficam como desafio!!!!
Referências
Os textos abaixos postados em 05/09/2008 são do primeiro capitulo livro 2+2 da editora grádiva e podem ser encontrados no sitio da editora:www.gradiva.com.pt.
Neste momento esqueci o nome da autora do livro. Leio esse livro e os outros da coleção O prazer da matemática desta editora!!!
Neste momento esqueci o nome da autora do livro. Leio esse livro e os outros da coleção O prazer da matemática desta editora!!!
sexta-feira, 5 de setembro de 2008
Desafios
Apenas se pode encontrar a verdade com a lógica se já se encontrou a verdade sem ela.
Os habitantes de Ganimedes são bizarros alienígenas; dividem-se em duas categorias:
— Os vorks, que falam sempre verdade;
— Os friks, que fazem sempre afirmações falsas.
Observe-se que em Ganimedes é impossível qualquer nativo dizer-se frik porque, sendo vork, jamais mentiria e, sendo de verdade frik, nunca admitiria verdadeiramente sê-lo.
O funcionário Potter do serviço de estatística foi incumbido de recolher informação sobre as duas categorias de nativos para um recenseamento eleitoral. Deveria entrevistar vários casais e apurar quem era vork e quem era frik.
1. (E) Potter dirigiu-se a um primeiro casal e perguntou:
— Qual de vós é vork e qual de vós é frik?
— Somos ambos friks — respondeu o marido.
Deverá Potter acreditar nesta resposta?
2. (Ou) Na casa contígua, Potter interrogou um segundo casal, perguntando ao marido:
— Sois ambos friks?
Ao que o interrogado volveu:
— Pelo menos um de nós é frik.
Potter franziu o sobrolho. Seria assim?!...
3. (Se/então) Na casa seguinte, Potter foi recebido por uma criaturinha tímida que, depois de o visitante se ter apresentado e justificado a razão da sua visita, referiu vagamente a ausência da esposa.
Potter pediu-lhe que lhe desse alguma informação sobre a sua própria pessoa e também sobre a esposa. A resposta que obteve foi apenas esta:
— Se eu sou vork, a minha mulher também o é.
Potter concentrou-se e sentiu-se incapaz de concluir em que categorias deveria inserir os dois membros do casal. Mas logo depois teve um lampejo e exclamou:
— Claro!
Que seria claro para Potter?!
G. K. Chesterton (1874-1936)
Os habitantes de Ganimedes são bizarros alienígenas; dividem-se em duas categorias:
— Os vorks, que falam sempre verdade;
— Os friks, que fazem sempre afirmações falsas.
Observe-se que em Ganimedes é impossível qualquer nativo dizer-se frik porque, sendo vork, jamais mentiria e, sendo de verdade frik, nunca admitiria verdadeiramente sê-lo.
O funcionário Potter do serviço de estatística foi incumbido de recolher informação sobre as duas categorias de nativos para um recenseamento eleitoral. Deveria entrevistar vários casais e apurar quem era vork e quem era frik.
1. (E) Potter dirigiu-se a um primeiro casal e perguntou:
— Qual de vós é vork e qual de vós é frik?
— Somos ambos friks — respondeu o marido.
Deverá Potter acreditar nesta resposta?
2. (Ou) Na casa contígua, Potter interrogou um segundo casal, perguntando ao marido:
— Sois ambos friks?
Ao que o interrogado volveu:
— Pelo menos um de nós é frik.
Potter franziu o sobrolho. Seria assim?!...
3. (Se/então) Na casa seguinte, Potter foi recebido por uma criaturinha tímida que, depois de o visitante se ter apresentado e justificado a razão da sua visita, referiu vagamente a ausência da esposa.
Potter pediu-lhe que lhe desse alguma informação sobre a sua própria pessoa e também sobre a esposa. A resposta que obteve foi apenas esta:
— Se eu sou vork, a minha mulher também o é.
Potter concentrou-se e sentiu-se incapaz de concluir em que categorias deveria inserir os dois membros do casal. Mas logo depois teve um lampejo e exclamou:
— Claro!
Que seria claro para Potter?!
Deus existe?
A lógica é a higiene que o matemático pratica para manter as suas ideias saudáveis e fortes.
— Deus existe? — pergunta um estudante ao professor de Lógica.
Responde o professor:
— Deus existe se, e só se, tu nunca acreditares que Deus existe.
— Como assim? — volveu o aluno.
— Se Deus existe, então tu jamais acreditarás que Deus existe, mas, se Deus não existe, então tu acreditarás que Deus existe.
O estudante pestanejou. O professor passou ao segundo teo- rema da incompletude de Gödel (abreviadamente TIG). De acordo com o TIG, todo o sistema axiomático consistente, suficientemente potente para desenvolver a aritmética elementar, sofre da surpreendente limitação de nunca poder provar a sua própria consistência. Só usando um sistema mais forte tal pode ser conse- guido. Um sistema consistente é aquele no qual tudo o que puder provar-se dentro dele é verdadeiro e onde não surgem contra- dições.
O TIG, descoberto no começo do terceiro decénio do século xx, deixou a comunidade matemática em transe (v. «Crises da matemática», «Leituras suplementares iii»).
O matemático Weyl afirmou que a prova de que Deus existe reside no facto de a aritmética ser consistente e a prova de que o diabo existe está no facto de isso não poder ser provado.
O trabalho de Gödel fez ressaltar as limitações da lógica e dos métodos puramente formais na demonstração de verdades matemáticas intuitivamente óbvias. Programas como os de Whitehead e Russell, visando reduzir a matemática à lógica (elencos de deduções partindo de alguns princípios lógicos fundamentais), mereciam sérias reservas. A obra de Gödel gorou o ideal científico mais vasto de encontrar um pequeno número de axiomas básicos em termos dos quais todos os fenómenos naturais pudessem ser logicamente descritos.
O professor de Lógica acrescentou: todas as formulações axiomáticas consistentes da aritmética incluem proposições indecidíveis, isto é, que jamais poderão ser provadas ou refutadas.
Se/então
Russell discutia acerca de enunciados condicionais (do tipo «se/então»), afirmando que um enunciado falso pode implicar tudo o que se queira. Um ouvinte céptico observou-lhe:
«Quer dizer que, se 2 + 2 = 5, então o senhor é o papa?»
«Obviamente!», respondeu Russell, que argumentou assim: «Se aceitarmos que 2 + 2 = 5, concordará que, subtraindo 1 a cada um dos membros, obteremos 2 = 3. Então também 3 = 2. Sub- traindo 1 a cada um dos membros, ficamos com 2 = 1. Visto que eu e o papa somos 2 e 2 = 1, o papa e eu somos 1. Logo, eu sou o papa!»
Em matemática, qualquer enunciado da forma «se A, então B», ou «A implica B», é falso só quando A é verdadeiro e B é falso e é verdadeiro sempre que:
1) B é verdadeiro, quer A seja verdadeiro ou falso;
2) A é falso, quer B seja verdadeiro ou não.
Hermann Weyl (1885-1955)
— Deus existe? — pergunta um estudante ao professor de Lógica.
Responde o professor:
— Deus existe se, e só se, tu nunca acreditares que Deus existe.
— Como assim? — volveu o aluno.
— Se Deus existe, então tu jamais acreditarás que Deus existe, mas, se Deus não existe, então tu acreditarás que Deus existe.
O estudante pestanejou. O professor passou ao segundo teo- rema da incompletude de Gödel (abreviadamente TIG). De acordo com o TIG, todo o sistema axiomático consistente, suficientemente potente para desenvolver a aritmética elementar, sofre da surpreendente limitação de nunca poder provar a sua própria consistência. Só usando um sistema mais forte tal pode ser conse- guido. Um sistema consistente é aquele no qual tudo o que puder provar-se dentro dele é verdadeiro e onde não surgem contra- dições.
O TIG, descoberto no começo do terceiro decénio do século xx, deixou a comunidade matemática em transe (v. «Crises da matemática», «Leituras suplementares iii»).
O matemático Weyl afirmou que a prova de que Deus existe reside no facto de a aritmética ser consistente e a prova de que o diabo existe está no facto de isso não poder ser provado.
O trabalho de Gödel fez ressaltar as limitações da lógica e dos métodos puramente formais na demonstração de verdades matemáticas intuitivamente óbvias. Programas como os de Whitehead e Russell, visando reduzir a matemática à lógica (elencos de deduções partindo de alguns princípios lógicos fundamentais), mereciam sérias reservas. A obra de Gödel gorou o ideal científico mais vasto de encontrar um pequeno número de axiomas básicos em termos dos quais todos os fenómenos naturais pudessem ser logicamente descritos.
O professor de Lógica acrescentou: todas as formulações axiomáticas consistentes da aritmética incluem proposições indecidíveis, isto é, que jamais poderão ser provadas ou refutadas.
Se/então
Russell discutia acerca de enunciados condicionais (do tipo «se/então»), afirmando que um enunciado falso pode implicar tudo o que se queira. Um ouvinte céptico observou-lhe:
«Quer dizer que, se 2 + 2 = 5, então o senhor é o papa?»
«Obviamente!», respondeu Russell, que argumentou assim: «Se aceitarmos que 2 + 2 = 5, concordará que, subtraindo 1 a cada um dos membros, obteremos 2 = 3. Então também 3 = 2. Sub- traindo 1 a cada um dos membros, ficamos com 2 = 1. Visto que eu e o papa somos 2 e 2 = 1, o papa e eu somos 1. Logo, eu sou o papa!»
Em matemática, qualquer enunciado da forma «se A, então B», ou «A implica B», é falso só quando A é verdadeiro e B é falso e é verdadeiro sempre que:
1) B é verdadeiro, quer A seja verdadeiro ou falso;
2) A é falso, quer B seja verdadeiro ou não.
Puzzles lógicos
São ondas os corpúsculos?
Sim ou não?
São uma ou outra coisa, ou serão ambas?
São «ou» ou serão «e»?
Ou um tudo se passa como se?
António Gedeão, Poema de ser ou não ser
Existem dois princípios basilares em lógica: o princípio da não- -contradição e o princípio do terceiro excluído. Usados acriticamente, estes princípios podem originar problemas.
O princípio da não-contradição estabelece o seguinte:
Não é possível A e não A.
O princípio do terceiro excluído estabelece:
Ou A ou não A.
A propósito do princípio do terceiro excluído, lembramos uma história de Leo Rosten sobre um lógico tão sagaz que conseguia deslindar a mais árdua das questões. Reza que, durante uma festa, os alunos do sábio lógico o fizeram beber de tal modo que ele perdeu a sobriedade. Quando o lógico, muito alcoolizado, adormeceu, levaram-no para um cemitério e esconderam-se, esperando a sua análise da situação.
Que foi a seguinte:
Ou estou vivo ou não estou. Se estou vivo, então que faço aqui? Se estou morto, então por que quero ir à casa de banho?
Nesta história, o princípio é usado de modo inatacável e com algum humor. Na situação que se segue, o uso do princípio do terceiro excluído é algo desconcertante:
No meu próximo exame passarei ou não passarei. Se for verdade que passarei, não obstante o meu desleixo e cabulice, passarei. Se for falso, apesar de todo o meu estudo e afinco, não passarei.
De acordo com o princípio lógico do terceiro excluído, é uma verdade necessária que ou a previsão seja falsa ou verdadeira. Assim, parece estar já predeterminado agora o que acontecerá no futuro.
Aqui nada há de problemático no uso do princípio do terceiro excluído. Mas apenas o sem-sentido de afirmações da forma:
É verdade agora que determinado acontecimento ocorrerá no futuro.
Alguns matemáticos negam que o princípio do terceiro excluído seja uma lei da lógica. Estão neste caso os seguidores da chamada corrente construtivista (intuicionista, numa designação mais antiga). Não aceitam afirmações do tipo: ou existe uma série de oito cincos consecutivos no desenvolvimento decimal de ou não existe. Por que não aceitam isto? Porque não existe uma demonstração construtiva desta existência, nem uma demonstração construtiva da sua não existência (v. «Leituras suplementares i»).
Exame de surpresa
Na segunda-feira de manhã, o professor de Matemática fez o seguinte aviso à turma:
— Darei, esta semana, um exame de surpresa e, na manhã do exame, os alunos não saberão que esse é o dia da prova.
Ao escutá-lo, um dos alunos retorquiu:
— O exame não poderá ser na sexta-feira porque, se o exame não tiver ocorrido até ao final da aula de quinta-feira, então na sexta-feira de manhã eu saberei que esse é o dia e o exame não será de surpresa. Assim, o dia de sexta-feira fica eliminado e quinta-feira é o último dia possível.
Mais, se não tiver havido exame até ao final da aula de quarta- -feira, eu sei que o exame terá lugar na quinta-feira e não será de surpresa, pelo que o dia de quinta-feira fica eliminado.
De igual modo, quarta-feira é eliminada, depois terça-feira e, finalmente, segunda-feira, dia do aviso do exame de surpresa. Logo, o professor não poderá cumprir o que disse!
A turma vibrou e concluiu em coro:
— Portanto, não haverá exame!
Ao que o professor respondeu:
— Agora, terão agora o exame!
Este problema é conhecido por paradoxo do exame inesperado e sobre ele têm sido escritos muitos artigos. Existe uma versão de um dia para este problema, pois a complicação de haver mais de um dia é irrelevante. Consiste no seguinte:
— Darei hoje um exame de surpresa.
Deverão os alunos objectar? Como?
Sim ou não?
São uma ou outra coisa, ou serão ambas?
São «ou» ou serão «e»?
Ou um tudo se passa como se?
António Gedeão, Poema de ser ou não ser
Existem dois princípios basilares em lógica: o princípio da não- -contradição e o princípio do terceiro excluído. Usados acriticamente, estes princípios podem originar problemas.
O princípio da não-contradição estabelece o seguinte:
Não é possível A e não A.
O princípio do terceiro excluído estabelece:
Ou A ou não A.
A propósito do princípio do terceiro excluído, lembramos uma história de Leo Rosten sobre um lógico tão sagaz que conseguia deslindar a mais árdua das questões. Reza que, durante uma festa, os alunos do sábio lógico o fizeram beber de tal modo que ele perdeu a sobriedade. Quando o lógico, muito alcoolizado, adormeceu, levaram-no para um cemitério e esconderam-se, esperando a sua análise da situação.
Que foi a seguinte:
Ou estou vivo ou não estou. Se estou vivo, então que faço aqui? Se estou morto, então por que quero ir à casa de banho?
Nesta história, o princípio é usado de modo inatacável e com algum humor. Na situação que se segue, o uso do princípio do terceiro excluído é algo desconcertante:
No meu próximo exame passarei ou não passarei. Se for verdade que passarei, não obstante o meu desleixo e cabulice, passarei. Se for falso, apesar de todo o meu estudo e afinco, não passarei.
De acordo com o princípio lógico do terceiro excluído, é uma verdade necessária que ou a previsão seja falsa ou verdadeira. Assim, parece estar já predeterminado agora o que acontecerá no futuro.
Aqui nada há de problemático no uso do princípio do terceiro excluído. Mas apenas o sem-sentido de afirmações da forma:
É verdade agora que determinado acontecimento ocorrerá no futuro.
Alguns matemáticos negam que o princípio do terceiro excluído seja uma lei da lógica. Estão neste caso os seguidores da chamada corrente construtivista (intuicionista, numa designação mais antiga). Não aceitam afirmações do tipo: ou existe uma série de oito cincos consecutivos no desenvolvimento decimal de ou não existe. Por que não aceitam isto? Porque não existe uma demonstração construtiva desta existência, nem uma demonstração construtiva da sua não existência (v. «Leituras suplementares i»).
Exame de surpresa
Na segunda-feira de manhã, o professor de Matemática fez o seguinte aviso à turma:
— Darei, esta semana, um exame de surpresa e, na manhã do exame, os alunos não saberão que esse é o dia da prova.
Ao escutá-lo, um dos alunos retorquiu:
— O exame não poderá ser na sexta-feira porque, se o exame não tiver ocorrido até ao final da aula de quinta-feira, então na sexta-feira de manhã eu saberei que esse é o dia e o exame não será de surpresa. Assim, o dia de sexta-feira fica eliminado e quinta-feira é o último dia possível.
Mais, se não tiver havido exame até ao final da aula de quarta- -feira, eu sei que o exame terá lugar na quinta-feira e não será de surpresa, pelo que o dia de quinta-feira fica eliminado.
De igual modo, quarta-feira é eliminada, depois terça-feira e, finalmente, segunda-feira, dia do aviso do exame de surpresa. Logo, o professor não poderá cumprir o que disse!
A turma vibrou e concluiu em coro:
— Portanto, não haverá exame!
Ao que o professor respondeu:
— Agora, terão agora o exame!
Este problema é conhecido por paradoxo do exame inesperado e sobre ele têm sido escritos muitos artigos. Existe uma versão de um dia para este problema, pois a complicação de haver mais de um dia é irrelevante. Consiste no seguinte:
— Darei hoje um exame de surpresa.
Deverão os alunos objectar? Como?
Um história sem fim
O matemático Stanislaw Ulam adverte que «para ser criativo em ciências é importantíssimo não desistir». E ainda: «Se formos optimistas, estaremos mais dispostos a tentar do que se formos pessimistas. Passa-se o mesmo em jogos como o xadrez. Um jogador de xadrez tende a acreditar (por vezes erradamente) que está numa posição melhor do que o adversário. Isto, é claro, ajuda a que o jogo se mantenha em progressão e não aumenta a fadiga criada pela dúvida pessoal.»
A matemática é uma arte criativa. A imaginação matemática requer fundamentos sólidos, bom treino de técnicas, domínio de mecanismos de computação, memorização de conceitos ...
Reduzir todo o processo de aprendizagem a um processo de auto-descoberta é uma utopia. O conhecimento constrói-se com base no esforço de muitas gerações. Pedir ao estudante que percorra, por si, todo esse processo não é razoável ou sequer viável.
A perseverança é uma qualidade de grande valor para a prática matemática. Desistir à(s) primeira(s) tentativa(s) é um erro crasso.
A matemática é uma das mais notáveis criações da inteligência humana. É uma busca interminável que se estende desde os alvores do tempo até aos nossos tempos. Depois de um teorema demonstrado, há sempre o desafio de uma conjectura em aberto.
O célebre matemático Wiles — que resolveu um mistério matemático de séculos, o último teorema de Fermat — diz que atacar um problema «é como entrar numa mansão às escuras. Entramos numa sala e tropeçamos durante meses, mesmo anos, na mobília. Lentamente ficamos a saber onde estão todas as peças do mobiliário e procuramos o interruptor da luz. Acendemos a luz e a sala fica toda iluminada. Então passamos à sala seguinte e repetimos o processo.»
Na história da matemática, progresso e paradoxo caminham a par.
A matemática é uma arte criativa. A imaginação matemática requer fundamentos sólidos, bom treino de técnicas, domínio de mecanismos de computação, memorização de conceitos ...
Reduzir todo o processo de aprendizagem a um processo de auto-descoberta é uma utopia. O conhecimento constrói-se com base no esforço de muitas gerações. Pedir ao estudante que percorra, por si, todo esse processo não é razoável ou sequer viável.
A perseverança é uma qualidade de grande valor para a prática matemática. Desistir à(s) primeira(s) tentativa(s) é um erro crasso.
A matemática é uma das mais notáveis criações da inteligência humana. É uma busca interminável que se estende desde os alvores do tempo até aos nossos tempos. Depois de um teorema demonstrado, há sempre o desafio de uma conjectura em aberto.
O célebre matemático Wiles — que resolveu um mistério matemático de séculos, o último teorema de Fermat — diz que atacar um problema «é como entrar numa mansão às escuras. Entramos numa sala e tropeçamos durante meses, mesmo anos, na mobília. Lentamente ficamos a saber onde estão todas as peças do mobiliário e procuramos o interruptor da luz. Acendemos a luz e a sala fica toda iluminada. Então passamos à sala seguinte e repetimos o processo.»
Na história da matemática, progresso e paradoxo caminham a par.
A inutilidade do labor
Que apelo irresistível leva os matemáticos a encetarem estas buscas? Que utilidade terá este labor? De igual modo podemos perguntar: que utilidade tem para o mundo a queda de recordes desportivos? Por que perseguem os desportistas com tanto afã os seus próprios recordes?
O matemático inglês G. H. Hardy, especialista em teoria dos números, deliciava-se com a inutilidade das suas pesquisas. Para ele, a matemática pela matemática era a palavra de ordem. «Nunca fiz nada de útil. Nenhuma das minhas descobertas fez, ou é provável que faça, directa ou indirectamente, para o bem ou para o mal, a mais pequena diferença para o bem-estar do mundo.»
Einstein afirmou: «Acredito, como Schöpenhauer, que um dos motivos mais fortes que levaram o homem a dedicar-se à arte e à ciência foi querer fugir à vida do dia a dia, com a sua penosa crueza e deprimente desesperança, às grilhetas dos próprios desejos em permanente mudança.»
Russell confirma esta ideia: teve uma juventude atribulada e chegou a pensar em suicidar-se. Confessou que desistiu porque havia belos problemas matemáticos para resolver.
O matemático inglês G. H. Hardy, especialista em teoria dos números, deliciava-se com a inutilidade das suas pesquisas. Para ele, a matemática pela matemática era a palavra de ordem. «Nunca fiz nada de útil. Nenhuma das minhas descobertas fez, ou é provável que faça, directa ou indirectamente, para o bem ou para o mal, a mais pequena diferença para o bem-estar do mundo.»
Einstein afirmou: «Acredito, como Schöpenhauer, que um dos motivos mais fortes que levaram o homem a dedicar-se à arte e à ciência foi querer fugir à vida do dia a dia, com a sua penosa crueza e deprimente desesperança, às grilhetas dos próprios desejos em permanente mudança.»
Russell confirma esta ideia: teve uma juventude atribulada e chegou a pensar em suicidar-se. Confessou que desistiu porque havia belos problemas matemáticos para resolver.
lógico
O notável paradoxo da matemática
O notável paradoxo da matemática é este: embora os seus praticantes não cuidem das aplicações e do mundo real, produzem as melhores ferramentas para o compreender.
Os Gregos, sem razão especial, estudaram uma curva denominada elipse e 2000 mais tarde os astrónomos descobriram que ela descreve a forma da trajectória dos planetas em torno do Sol.
Em 1854, Riemann «substituiu» o postulado das paralelas por um contraditório e o plano euclidiano por uma abstracção bizarra chamada espaço curvo. Sessenta anos volvidos, Einstein anunciou que era esta a forma do universo ...
9. Matemática ao alcance de todos
Na escola básica aprendemos a contar, a fazer cálculos e a medir. Enquanto principiantes, achámos estas práticas cheias de mistério e de dificuldades. Porém, uma vez aprendidas, parecem-nos rotineiras, elementares e ao alcance de qualquer um.
Lidar com a matemática requer certas capacidades especiais, se não algum talento — da mesma forma que a música, a dança, o desporto. Mesmo que a maioria de nós não possa vir a tornar-se um grande desportista, bailarino ou músico, todos sabem em que consistem estas actividades e praticamente todos sabem dançar, cantar, praticar desportos.
O notável paradoxo da matemática é este: embora os seus praticantes não cuidem das aplicações e do mundo real, produzem as melhores ferramentas para o compreender.
Os Gregos, sem razão especial, estudaram uma curva denominada elipse e 2000 mais tarde os astrónomos descobriram que ela descreve a forma da trajectória dos planetas em torno do Sol.
Em 1854, Riemann «substituiu» o postulado das paralelas por um contraditório e o plano euclidiano por uma abstracção bizarra chamada espaço curvo. Sessenta anos volvidos, Einstein anunciou que era esta a forma do universo ...
9. Matemática ao alcance de todos
Na escola básica aprendemos a contar, a fazer cálculos e a medir. Enquanto principiantes, achámos estas práticas cheias de mistério e de dificuldades. Porém, uma vez aprendidas, parecem-nos rotineiras, elementares e ao alcance de qualquer um.
Lidar com a matemática requer certas capacidades especiais, se não algum talento — da mesma forma que a música, a dança, o desporto. Mesmo que a maioria de nós não possa vir a tornar-se um grande desportista, bailarino ou músico, todos sabem em que consistem estas actividades e praticamente todos sabem dançar, cantar, praticar desportos.
um jogo
Diz-se que a matemática é um jogo juvenil. Muitas desco- bertas matemáticas notáveis foram realizadas por jovens. Galois, Gauss, Riemann, Abel, foram grandes matemáticos em idade precoce. A matemática é predominantemente um labor da juventude, tal como a poesia, contrariamente à história ou às ciências jurí- dicas, saberes cumulativos que requerem longa preparação e maturação.
Há na matemática áreas que não exigem grandes conhecimentos técnicos, como a teoria elementar dos números, a teoria dos grafos ou o cálculo combinatório. É possível explicar a uma criança certos conceitos, como, por exemplo, o de número primo (número diferente de 1 e que só é divisível por 1 e por si próprio). Com a sua perspicácia e argúcia, a criança pode explorar-lhes as propriedades com a delícia de um jogo.
Como diria o diabo dos números, o que há de diabólico nos números é o facto de serem tão simples. Existem conjecturas antigas nesta área que ainda não foram solucionadas. É o caso da conjectura de Goldbach: todo o número par maior do que 2 é soma de dois primos. Com efeito, 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ... mas como provar este facto em geral?
Há na matemática áreas que não exigem grandes conhecimentos técnicos, como a teoria elementar dos números, a teoria dos grafos ou o cálculo combinatório. É possível explicar a uma criança certos conceitos, como, por exemplo, o de número primo (número diferente de 1 e que só é divisível por 1 e por si próprio). Com a sua perspicácia e argúcia, a criança pode explorar-lhes as propriedades com a delícia de um jogo.
Como diria o diabo dos números, o que há de diabólico nos números é o facto de serem tão simples. Existem conjecturas antigas nesta área que ainda não foram solucionadas. É o caso da conjectura de Goldbach: todo o número par maior do que 2 é soma de dois primos. Com efeito, 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ... mas como provar este facto em geral?
Bela ou monstro
ntribuem para essa imagem negativa que a sociedade guarda e nisso os matemáticos têm a sua quota de responsabilidade.
Que pensa o leitor do seguinte letreiro que um matemático exibe à porta do gabinete: «Quem não for capaz de lidar com a matemática não é totalmente humano. Na melhor das hipóteses, é um sub-humano tolerável que aprendeu a usar sapatos, a tomar banho e a não fazer porcarias em casa.»
Compreendo muito bem que muitos jovens (e menos jovens) sintam dificuldades a matemática, porque também me custa tantas vezes compreendê-la no seu entretecido de ideias profundas. Até nos grandes fóruns de matemáticos há muita frustração — mesmo os especialistas têm dificuldades em seguir uma exposição matemática com o seu emaranhado de símbolos e aspectos técnicos, a sua linguagem hermética. É possível que muitos se percam logo nos primeiros minutos. Certas áreas da matemática requerem anos de labor, familiarização com notações pesadas, assimilação de definições e técnicas intrincadas, treino de rotinas, memorização de proposições, teoremas e corolários (nomenclatura que os matemáticos usam para as suas descobertas).
Concordo que a matemática tem aspectos desinteressantes.
E confesso que para ter vislumbres da sua impressionante beleza há que atravessar verdadeiros desertos. O encanto da matemática revela-se após a exploração de árduos caminhos. A fase de pesquisa entusiástica alterna com longos e complexos momentos de impasse e até mesmo desânimo.
Mas quem alguma vez lograr alcançar essa beleza jamais recobrará desse febril assombro. O «vírus» da matemática, como alguém me fez notar, quando se contrai, é para sempre. Apossa-se como uma paixão a que é impossível resistir.
Que pensa o leitor do seguinte letreiro que um matemático exibe à porta do gabinete: «Quem não for capaz de lidar com a matemática não é totalmente humano. Na melhor das hipóteses, é um sub-humano tolerável que aprendeu a usar sapatos, a tomar banho e a não fazer porcarias em casa.»
Compreendo muito bem que muitos jovens (e menos jovens) sintam dificuldades a matemática, porque também me custa tantas vezes compreendê-la no seu entretecido de ideias profundas. Até nos grandes fóruns de matemáticos há muita frustração — mesmo os especialistas têm dificuldades em seguir uma exposição matemática com o seu emaranhado de símbolos e aspectos técnicos, a sua linguagem hermética. É possível que muitos se percam logo nos primeiros minutos. Certas áreas da matemática requerem anos de labor, familiarização com notações pesadas, assimilação de definições e técnicas intrincadas, treino de rotinas, memorização de proposições, teoremas e corolários (nomenclatura que os matemáticos usam para as suas descobertas).
Concordo que a matemática tem aspectos desinteressantes.
E confesso que para ter vislumbres da sua impressionante beleza há que atravessar verdadeiros desertos. O encanto da matemática revela-se após a exploração de árduos caminhos. A fase de pesquisa entusiástica alterna com longos e complexos momentos de impasse e até mesmo desânimo.
Mas quem alguma vez lograr alcançar essa beleza jamais recobrará desse febril assombro. O «vírus» da matemática, como alguém me fez notar, quando se contrai, é para sempre. Apossa-se como uma paixão a que é impossível resistir.
porque matemática
O objectivo do professor de Matemática não consiste em ensinar retórica, mas em despertar no aluno a «sua» dimensão matemática. A matemática é um saber estruturante do raciocínio, um jogo, uma arte, não um conjunto de coisas mortas do passado. Para decifrar o mundo, o texto do mundo, há que saber raciocinar. Muitos enigmas famosos mostram o envolvimento do raciocínio matemático no mundo que nos rodeia. Vários factos da vida comum têm razões do domínio matemático. Por exemplo: por que será tão difícil acertar na chave do totobola?
A matemática faz parte do nosso quotidiano. As rotinas da vida corrente desenrolam-se num cenário matematizado. Utilizamos matemática quando gerimos as finanças domésticas, construímos as nossas casas, seguramos os nossos carros e haveres, viajamos de avião ... A matemática é a linguagem da ciência e da tecnologia. É essencial em campos tão diversos como a arquitectura, engenharia, economia, medicina ...
Todavia, não vale a pena fazer exercícios patéticos que falam da vida real mas que adulteram a natureza da matemática.
Num mundo cada vez mais complexo e em que as incertezas (ambientais, económicas, etc.) constituem uma ameaça, a matemática permite prever riscos e planear estratégias. A matemática estimula. A cada instante aparecem novas descobertas. Há problemas cuja solução se procura há muito e que resistem obstinadamente aos mais variados ataques.
Na frente social, o grande desafio da matemática é a gestão da incerteza. Não surpreende, pois, que novos campos promissores da matemática sejam a teoria das catástrofes e a teoria do caos.
A matemática faz parte do nosso quotidiano. As rotinas da vida corrente desenrolam-se num cenário matematizado. Utilizamos matemática quando gerimos as finanças domésticas, construímos as nossas casas, seguramos os nossos carros e haveres, viajamos de avião ... A matemática é a linguagem da ciência e da tecnologia. É essencial em campos tão diversos como a arquitectura, engenharia, economia, medicina ...
Todavia, não vale a pena fazer exercícios patéticos que falam da vida real mas que adulteram a natureza da matemática.
Num mundo cada vez mais complexo e em que as incertezas (ambientais, económicas, etc.) constituem uma ameaça, a matemática permite prever riscos e planear estratégias. A matemática estimula. A cada instante aparecem novas descobertas. Há problemas cuja solução se procura há muito e que resistem obstinadamente aos mais variados ataques.
Na frente social, o grande desafio da matemática é a gestão da incerteza. Não surpreende, pois, que novos campos promissores da matemática sejam a teoria das catástrofes e a teoria do caos.
Um advogado
Conta-se que o sofista Protágoras ensinou retórica a Euatlo, preparando-o para defender causas em tribunal. Acertaram que o discípulo só pagaria as lições após vencer a sua primeira causa.
Concluída a aprendizagem, Euatlo decidiu não defender causas e não pagar ao mestre. Então Protágoras processou-o por não pagamento.
A argumentação era do seguinte teor:
Protágoras — Se eu ganhar a causa, Euatlo deverá pagar por ordem do tribunal. Se eu perder, Euatlo deverá pagar nos termos do acordo. De qualquer modo, deverei ser pago.
Euatlo — Não pago! De modo algum deverei pagar. Se eu ganhar a causa, não terei de pagar. Se perder, nos termos do contrato com Protágoras, não deverei pagar.
Afinal, quem tem razão? Protágoras ou Euatlo? Ou os dois? Uma coisa parece certa, Euatlo aprendeu com o mestre as suas artes.
Concluída a aprendizagem, Euatlo decidiu não defender causas e não pagar ao mestre. Então Protágoras processou-o por não pagamento.
A argumentação era do seguinte teor:
Protágoras — Se eu ganhar a causa, Euatlo deverá pagar por ordem do tribunal. Se eu perder, Euatlo deverá pagar nos termos do acordo. De qualquer modo, deverei ser pago.
Euatlo — Não pago! De modo algum deverei pagar. Se eu ganhar a causa, não terei de pagar. Se perder, nos termos do contrato com Protágoras, não deverei pagar.
Afinal, quem tem razão? Protágoras ou Euatlo? Ou os dois? Uma coisa parece certa, Euatlo aprendeu com o mestre as suas artes.
Uns doces bem amargos
O Filipe sentou-se na cadeira e tirou do saco os chocolates e enfeites para a árvore de Natal.
— Mãe! Estes chocolates devem ser mesmo apetitosos! — insinuou. Como a mãe não percebeu onde queria chegar, resolveu ser mais directo. — Posso comer algum?...
— É todos os anos a mesma história! — fingiu lamentar-se a mãe. — Mas este ano já estou prevenida. Comprei 30 bombons para comeres até ao Natal... — O sorriso do Filipe quase se encostou às orelhas! «Quem tem uma mãe tem tudo!», pensou. — ... mas — continuou a mãe — desafio-te para um pequeno problema.
— Por mim está tudo bem! Aceito qualquer tipo de desafio.
O Filipe não se mostrou nada contrariado. «Se a mãe pretendia saber quanto tempo demoraria a comer todos os doces, a resposta era: alguns segundos!»
— Então repara! Faltam 5 dias para o dia de Natal. Tens de comer todos os bombons em 5 dias, comendo em cada dia um número ímpar de bombons.
— Fácil! — adiantou o Filipe. — No primeiro dia como 29, no segundo, infelizmente, 1 e nos restantes dias, mais infelizmente ainda, nenhum.
— Repara que isso não é assim tão simples! Como zero é um número par, em cada dia tens de comer, no mínimo, 1 bombom. Não é assim?...
— É verdade! Não posso fazer o que disse, mas isso é uma questão de minutos. Meia dúzia de cálculos e não há bombons que resistam.
— Pois! — disse a mãe. — Tens é de me prometer que não comes nenhum até encontrares uma solução.
Nesta altura o Filipe tremeu. Teria caído em alguma armadilha? Claro que não! Ele até sabia resolver equações do 2.o grau, quanto mais exercícios de trazer por casa.
2. Um TPC diabólico
O Filipe preparava-se para passar umas férias de Carnaval deliciosas quando o professor de Matemática resolveu, no último momento, marcar um TPC para as férias. E que TPC!...
Cada aluno teria de representar no geoplano 30 polígonos diferentes e, considerando a distância entre cada pino igual à unidade, determinar a área de cada uma dessas figuras.
O Filipe até sabia como proceder: decompunha cada figura em quadrados, rectângulos ou triângulos e somava as áreas correspondentes. Contudo, todas estas tarefas multiplicadas por 30 dariam certamente umas férias geométricas.
— Professor?!... Mas vai ter imenso trabalho a corrigir todos os trabalhos! — preocupou-se um dos alunos com esperança de que o aviso fizesse reduzir o volume de trabalho.
— Obrigado pela preocupação, mas não tenham pena de mim! Tenho um método eficaz para corrigir as respostas.
Neste momento ocorreu uma ideia ao Filipe: seria possível determinar a área de cada figura de uma forma mais rápida? Por exemplo, a partir da contagem dos pinos que se situavam sobre a linha poligonal, bem como dos que ficavam dentro dessa linha.
E se tentasse?!...
— Mãe! Estes chocolates devem ser mesmo apetitosos! — insinuou. Como a mãe não percebeu onde queria chegar, resolveu ser mais directo. — Posso comer algum?...
— É todos os anos a mesma história! — fingiu lamentar-se a mãe. — Mas este ano já estou prevenida. Comprei 30 bombons para comeres até ao Natal... — O sorriso do Filipe quase se encostou às orelhas! «Quem tem uma mãe tem tudo!», pensou. — ... mas — continuou a mãe — desafio-te para um pequeno problema.
— Por mim está tudo bem! Aceito qualquer tipo de desafio.
O Filipe não se mostrou nada contrariado. «Se a mãe pretendia saber quanto tempo demoraria a comer todos os doces, a resposta era: alguns segundos!»
— Então repara! Faltam 5 dias para o dia de Natal. Tens de comer todos os bombons em 5 dias, comendo em cada dia um número ímpar de bombons.
— Fácil! — adiantou o Filipe. — No primeiro dia como 29, no segundo, infelizmente, 1 e nos restantes dias, mais infelizmente ainda, nenhum.
— Repara que isso não é assim tão simples! Como zero é um número par, em cada dia tens de comer, no mínimo, 1 bombom. Não é assim?...
— É verdade! Não posso fazer o que disse, mas isso é uma questão de minutos. Meia dúzia de cálculos e não há bombons que resistam.
— Pois! — disse a mãe. — Tens é de me prometer que não comes nenhum até encontrares uma solução.
Nesta altura o Filipe tremeu. Teria caído em alguma armadilha? Claro que não! Ele até sabia resolver equações do 2.o grau, quanto mais exercícios de trazer por casa.
2. Um TPC diabólico
O Filipe preparava-se para passar umas férias de Carnaval deliciosas quando o professor de Matemática resolveu, no último momento, marcar um TPC para as férias. E que TPC!...
Cada aluno teria de representar no geoplano 30 polígonos diferentes e, considerando a distância entre cada pino igual à unidade, determinar a área de cada uma dessas figuras.
O Filipe até sabia como proceder: decompunha cada figura em quadrados, rectângulos ou triângulos e somava as áreas correspondentes. Contudo, todas estas tarefas multiplicadas por 30 dariam certamente umas férias geométricas.
— Professor?!... Mas vai ter imenso trabalho a corrigir todos os trabalhos! — preocupou-se um dos alunos com esperança de que o aviso fizesse reduzir o volume de trabalho.
— Obrigado pela preocupação, mas não tenham pena de mim! Tenho um método eficaz para corrigir as respostas.
Neste momento ocorreu uma ideia ao Filipe: seria possível determinar a área de cada figura de uma forma mais rápida? Por exemplo, a partir da contagem dos pinos que se situavam sobre a linha poligonal, bem como dos que ficavam dentro dessa linha.
E se tentasse?!...
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