segunda-feira, 22 de setembro de 2008
O HOMEM QUE CALCULAVA
Um excelente livro sobre matemática é O Homem que Calculava de Malba Tahan, dele retiramos vários problemas. Mesmo que você não goste de matemática vale apenas ler este fabuloso livro que trata da sabedoria arabe ....
01. Os 35 camelos
— Somos irmãos —esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o Homem que Calculava. — Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe.
Ajude o homem que calculava a fazer a divisão.
02. A divisão dos oito pães
Um rico Cheique árabe fora assaltado e passava fome no deserto pergunta:
- Trazei alguma coisa para eu comer? Estou quase a morrer de fome.
- Tenho de resto três pães, respondi.
-Trago ainda cinco pães, afirmou o Homem que calculava.
- Pois bem , sugeriu o cheique, juntemos os pães e formemos uma sociedade. Quando chegar a Bagdá prometo pagar com 8 moedas de ouro o pão que comer.
Sabendo que os três comeram igual porção dos pães, ajude o homem que calculava a fazer a divisão das moedas.
03. Os vinte e um vazos de vinho
— Aqui estão, ó Calculista, os três amigos. São criadores de carneiros.em Damasco. Enfrentam agora um dos problemas mais curiosos que tenho visto. E esse problema é o seguinte:
— Como pagamento de pequeno lote de carneiros, receberam aqui, em Bagdá, uma partida de vinho, muito fino, composta de 21 vasos iguais, sendo:
7 cheios 7 meio-cheios e 7 vazios.
Querem, agora, dividir os 21 vasos de modo que cada um deles receba o mesmo número de vasos e a mesma porção de vinho, sem abrir os vasos.
.
-
04. Os quatros quatros
O problema dos quatro quatros é o seguinte:
'Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc."
Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números inteiros, desde O até 100.
Será necessário, em certos casos, recorrer ao sinal de fatorial (!)e ao sinal de raiz quadrada.
A raiz cúbica não pode ser empregada, por causa do índice 3.
Escreva de 0 até 100 utilizando quatro quatros.
05. A prisão perpetua
— Entre os detentos — prosseguiu o ministro— beneficiados pela lei, existe um contrabandista de Bácora, chamado Sanadique, só há quatro anos, condenado a prisão perpétua. A pena desse homem deve ser reduzida à metade. Ora, como ele foi condenado à prisão por toda a vida, segue-se que deverá ora, em virtude da lei, ser perdoado da metade da pena, ou melhor, da metade do tempo que ainda lhe resta viver. Viverá ele, ainda, 1o tempo "x", desconhecido! Como dividir ir dois um período de tempo que ignoras?
Ajude o calculista a resolver este problema!
06. Os dez saldados
Colocar 10 saldados em cinco filas, tendo cada fila 5 soldados.
07. A idade de Diofante
"Eis o túmulo que encerra Diofante — maravilha de contemplar! Com artifício aritmético a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho — desgraçado e, no entanto, bem-amado! — apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência".
Calcule a idade de Diofante.
RESPOSTAS:
Muitos perguntam sobre a solução dos problemas acima. Sugiro que adquiram o livro.
Mesmo assim vou dá algumas respostas:
Os problemas 1 e 2 tem haver com frações
O problema 5 - basta passar um dia livre e outro preso, espero que ele não fuja no dia livre!!!
o problema 6 - basta dispo-los na forma de uma estrela de cinco pontas.
Mesmo assim vou dá algumas respostas:
Os problemas 1 e 2 tem haver com frações
O problema 5 - basta passar um dia livre e outro preso, espero que ele não fuja no dia livre!!!
o problema 6 - basta dispo-los na forma de uma estrela de cinco pontas.
quarta-feira, 10 de setembro de 2008
Não quebre a cabeça!!!
Vamos propor alguns problemas simples, para meus alunos do sexto ano:
1) Tenho 20 vacas para matar em três dias, e em cada dia devo matar uma quantidade ímpar de vacas, quantas vacas devo matar em cada dia?
2) Ontem encontrei um amigo, o Thadeu Garrido, que a muito tempo eu não via. Perguntei se ele tinha filhos. Tadheu respondeu que a soma das idades de seus filhos é 8 e que o produto das idades é 10. Falou ainda que o mais nova agora é que deixou de mamar. quantos filhos tem Tadheu? qual a idade de cada um?
3) Outro amigo, o grandes professor Alcides leciona geografia e gosta de aprontar das suas. Disse-me um dia ter encontrado uma cédula de 100 dolares entre as páginas 99 e 100 da sua primeira edição ilustrada de :Os Sertões , de Euclides da Culha. Alcides está mentindo ou falando a verdade ? Justifique.
4) Ontem a noite, choveu torrencialmente em Aquiraz. É possível que 72 horas depois esteja fazendo sol em Aquiraz?
5) Qual a metade do dobro de 5?
6) Uma sala tem quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos. quantos gatos tem na sala?
7) Qual o nome completo de um taxista que passa o dia a guiar seu taxi?
8) Qual o nome completo da criança que a ama lhe alimenta com leite roubado?
9) Quantos minutos tem um dia?
10) O pai daquele padre é filho único do meu pai. O que o padre é meu?
2 - Devemos pensar em três números que multiplicados sejam 10. Esses números são 5 x 2 x 1 =10 , a soma deve ser 8 , logo 5+2+1=8.
3 - procure em qualquer livro estas páginas.
4- Veja a postagem de 10 de janeiro de 2010.
5- Essa tá fácil!
As outras ficam como desafio!!!!
1) Tenho 20 vacas para matar em três dias, e em cada dia devo matar uma quantidade ímpar de vacas, quantas vacas devo matar em cada dia?
2) Ontem encontrei um amigo, o Thadeu Garrido, que a muito tempo eu não via. Perguntei se ele tinha filhos. Tadheu respondeu que a soma das idades de seus filhos é 8 e que o produto das idades é 10. Falou ainda que o mais nova agora é que deixou de mamar. quantos filhos tem Tadheu? qual a idade de cada um?
3) Outro amigo, o grandes professor Alcides leciona geografia e gosta de aprontar das suas. Disse-me um dia ter encontrado uma cédula de 100 dolares entre as páginas 99 e 100 da sua primeira edição ilustrada de :Os Sertões , de Euclides da Culha. Alcides está mentindo ou falando a verdade ? Justifique.
4) Ontem a noite, choveu torrencialmente em Aquiraz. É possível que 72 horas depois esteja fazendo sol em Aquiraz?
5) Qual a metade do dobro de 5?
6) Uma sala tem quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos. quantos gatos tem na sala?
7) Qual o nome completo de um taxista que passa o dia a guiar seu taxi?
8) Qual o nome completo da criança que a ama lhe alimenta com leite roubado?
9) Quantos minutos tem um dia?
10) O pai daquele padre é filho único do meu pai. O que o padre é meu?
RESPOSTAS:
1 - Essas vacas são loucas!!!! Para que o mesmo não aconteça contigo vamos a resposta: o problema é impossível, pois a soma de três números impares é sempre um número impar.2 - Devemos pensar em três números que multiplicados sejam 10. Esses números são 5 x 2 x 1 =10 , a soma deve ser 8 , logo 5+2+1=8.
3 - procure em qualquer livro estas páginas.
4- Veja a postagem de 10 de janeiro de 2010.
5- Essa tá fácil!
As outras ficam como desafio!!!!
Referências
Os textos abaixos postados em 05/09/2008 são do primeiro capitulo livro 2+2 da editora grádiva e podem ser encontrados no sitio da editora:www.gradiva.com.pt.
Neste momento esqueci o nome da autora do livro. Leio esse livro e os outros da coleção O prazer da matemática desta editora!!!
Neste momento esqueci o nome da autora do livro. Leio esse livro e os outros da coleção O prazer da matemática desta editora!!!
sexta-feira, 5 de setembro de 2008
Desafios
Apenas se pode encontrar a verdade com a lógica se já se encontrou a verdade sem ela.
Os habitantes de Ganimedes são bizarros alienígenas; dividem-se em duas categorias:
— Os vorks, que falam sempre verdade;
— Os friks, que fazem sempre afirmações falsas.
Observe-se que em Ganimedes é impossível qualquer nativo dizer-se frik porque, sendo vork, jamais mentiria e, sendo de verdade frik, nunca admitiria verdadeiramente sê-lo.
O funcionário Potter do serviço de estatística foi incumbido de recolher informação sobre as duas categorias de nativos para um recenseamento eleitoral. Deveria entrevistar vários casais e apurar quem era vork e quem era frik.
1. (E) Potter dirigiu-se a um primeiro casal e perguntou:
— Qual de vós é vork e qual de vós é frik?
— Somos ambos friks — respondeu o marido.
Deverá Potter acreditar nesta resposta?
2. (Ou) Na casa contígua, Potter interrogou um segundo casal, perguntando ao marido:
— Sois ambos friks?
Ao que o interrogado volveu:
— Pelo menos um de nós é frik.
Potter franziu o sobrolho. Seria assim?!...
3. (Se/então) Na casa seguinte, Potter foi recebido por uma criaturinha tímida que, depois de o visitante se ter apresentado e justificado a razão da sua visita, referiu vagamente a ausência da esposa.
Potter pediu-lhe que lhe desse alguma informação sobre a sua própria pessoa e também sobre a esposa. A resposta que obteve foi apenas esta:
— Se eu sou vork, a minha mulher também o é.
Potter concentrou-se e sentiu-se incapaz de concluir em que categorias deveria inserir os dois membros do casal. Mas logo depois teve um lampejo e exclamou:
— Claro!
Que seria claro para Potter?!
G. K. Chesterton (1874-1936)
Os habitantes de Ganimedes são bizarros alienígenas; dividem-se em duas categorias:
— Os vorks, que falam sempre verdade;
— Os friks, que fazem sempre afirmações falsas.
Observe-se que em Ganimedes é impossível qualquer nativo dizer-se frik porque, sendo vork, jamais mentiria e, sendo de verdade frik, nunca admitiria verdadeiramente sê-lo.
O funcionário Potter do serviço de estatística foi incumbido de recolher informação sobre as duas categorias de nativos para um recenseamento eleitoral. Deveria entrevistar vários casais e apurar quem era vork e quem era frik.
1. (E) Potter dirigiu-se a um primeiro casal e perguntou:
— Qual de vós é vork e qual de vós é frik?
— Somos ambos friks — respondeu o marido.
Deverá Potter acreditar nesta resposta?
2. (Ou) Na casa contígua, Potter interrogou um segundo casal, perguntando ao marido:
— Sois ambos friks?
Ao que o interrogado volveu:
— Pelo menos um de nós é frik.
Potter franziu o sobrolho. Seria assim?!...
3. (Se/então) Na casa seguinte, Potter foi recebido por uma criaturinha tímida que, depois de o visitante se ter apresentado e justificado a razão da sua visita, referiu vagamente a ausência da esposa.
Potter pediu-lhe que lhe desse alguma informação sobre a sua própria pessoa e também sobre a esposa. A resposta que obteve foi apenas esta:
— Se eu sou vork, a minha mulher também o é.
Potter concentrou-se e sentiu-se incapaz de concluir em que categorias deveria inserir os dois membros do casal. Mas logo depois teve um lampejo e exclamou:
— Claro!
Que seria claro para Potter?!
Deus existe?
A lógica é a higiene que o matemático pratica para manter as suas ideias saudáveis e fortes.
— Deus existe? — pergunta um estudante ao professor de Lógica.
Responde o professor:
— Deus existe se, e só se, tu nunca acreditares que Deus existe.
— Como assim? — volveu o aluno.
— Se Deus existe, então tu jamais acreditarás que Deus existe, mas, se Deus não existe, então tu acreditarás que Deus existe.
O estudante pestanejou. O professor passou ao segundo teo- rema da incompletude de Gödel (abreviadamente TIG). De acordo com o TIG, todo o sistema axiomático consistente, suficientemente potente para desenvolver a aritmética elementar, sofre da surpreendente limitação de nunca poder provar a sua própria consistência. Só usando um sistema mais forte tal pode ser conse- guido. Um sistema consistente é aquele no qual tudo o que puder provar-se dentro dele é verdadeiro e onde não surgem contra- dições.
O TIG, descoberto no começo do terceiro decénio do século xx, deixou a comunidade matemática em transe (v. «Crises da matemática», «Leituras suplementares iii»).
O matemático Weyl afirmou que a prova de que Deus existe reside no facto de a aritmética ser consistente e a prova de que o diabo existe está no facto de isso não poder ser provado.
O trabalho de Gödel fez ressaltar as limitações da lógica e dos métodos puramente formais na demonstração de verdades matemáticas intuitivamente óbvias. Programas como os de Whitehead e Russell, visando reduzir a matemática à lógica (elencos de deduções partindo de alguns princípios lógicos fundamentais), mereciam sérias reservas. A obra de Gödel gorou o ideal científico mais vasto de encontrar um pequeno número de axiomas básicos em termos dos quais todos os fenómenos naturais pudessem ser logicamente descritos.
O professor de Lógica acrescentou: todas as formulações axiomáticas consistentes da aritmética incluem proposições indecidíveis, isto é, que jamais poderão ser provadas ou refutadas.
Se/então
Russell discutia acerca de enunciados condicionais (do tipo «se/então»), afirmando que um enunciado falso pode implicar tudo o que se queira. Um ouvinte céptico observou-lhe:
«Quer dizer que, se 2 + 2 = 5, então o senhor é o papa?»
«Obviamente!», respondeu Russell, que argumentou assim: «Se aceitarmos que 2 + 2 = 5, concordará que, subtraindo 1 a cada um dos membros, obteremos 2 = 3. Então também 3 = 2. Sub- traindo 1 a cada um dos membros, ficamos com 2 = 1. Visto que eu e o papa somos 2 e 2 = 1, o papa e eu somos 1. Logo, eu sou o papa!»
Em matemática, qualquer enunciado da forma «se A, então B», ou «A implica B», é falso só quando A é verdadeiro e B é falso e é verdadeiro sempre que:
1) B é verdadeiro, quer A seja verdadeiro ou falso;
2) A é falso, quer B seja verdadeiro ou não.
Hermann Weyl (1885-1955)
— Deus existe? — pergunta um estudante ao professor de Lógica.
Responde o professor:
— Deus existe se, e só se, tu nunca acreditares que Deus existe.
— Como assim? — volveu o aluno.
— Se Deus existe, então tu jamais acreditarás que Deus existe, mas, se Deus não existe, então tu acreditarás que Deus existe.
O estudante pestanejou. O professor passou ao segundo teo- rema da incompletude de Gödel (abreviadamente TIG). De acordo com o TIG, todo o sistema axiomático consistente, suficientemente potente para desenvolver a aritmética elementar, sofre da surpreendente limitação de nunca poder provar a sua própria consistência. Só usando um sistema mais forte tal pode ser conse- guido. Um sistema consistente é aquele no qual tudo o que puder provar-se dentro dele é verdadeiro e onde não surgem contra- dições.
O TIG, descoberto no começo do terceiro decénio do século xx, deixou a comunidade matemática em transe (v. «Crises da matemática», «Leituras suplementares iii»).
O matemático Weyl afirmou que a prova de que Deus existe reside no facto de a aritmética ser consistente e a prova de que o diabo existe está no facto de isso não poder ser provado.
O trabalho de Gödel fez ressaltar as limitações da lógica e dos métodos puramente formais na demonstração de verdades matemáticas intuitivamente óbvias. Programas como os de Whitehead e Russell, visando reduzir a matemática à lógica (elencos de deduções partindo de alguns princípios lógicos fundamentais), mereciam sérias reservas. A obra de Gödel gorou o ideal científico mais vasto de encontrar um pequeno número de axiomas básicos em termos dos quais todos os fenómenos naturais pudessem ser logicamente descritos.
O professor de Lógica acrescentou: todas as formulações axiomáticas consistentes da aritmética incluem proposições indecidíveis, isto é, que jamais poderão ser provadas ou refutadas.
Se/então
Russell discutia acerca de enunciados condicionais (do tipo «se/então»), afirmando que um enunciado falso pode implicar tudo o que se queira. Um ouvinte céptico observou-lhe:
«Quer dizer que, se 2 + 2 = 5, então o senhor é o papa?»
«Obviamente!», respondeu Russell, que argumentou assim: «Se aceitarmos que 2 + 2 = 5, concordará que, subtraindo 1 a cada um dos membros, obteremos 2 = 3. Então também 3 = 2. Sub- traindo 1 a cada um dos membros, ficamos com 2 = 1. Visto que eu e o papa somos 2 e 2 = 1, o papa e eu somos 1. Logo, eu sou o papa!»
Em matemática, qualquer enunciado da forma «se A, então B», ou «A implica B», é falso só quando A é verdadeiro e B é falso e é verdadeiro sempre que:
1) B é verdadeiro, quer A seja verdadeiro ou falso;
2) A é falso, quer B seja verdadeiro ou não.
Puzzles lógicos
São ondas os corpúsculos?
Sim ou não?
São uma ou outra coisa, ou serão ambas?
São «ou» ou serão «e»?
Ou um tudo se passa como se?
António Gedeão, Poema de ser ou não ser
Existem dois princípios basilares em lógica: o princípio da não- -contradição e o princípio do terceiro excluído. Usados acriticamente, estes princípios podem originar problemas.
O princípio da não-contradição estabelece o seguinte:
Não é possível A e não A.
O princípio do terceiro excluído estabelece:
Ou A ou não A.
A propósito do princípio do terceiro excluído, lembramos uma história de Leo Rosten sobre um lógico tão sagaz que conseguia deslindar a mais árdua das questões. Reza que, durante uma festa, os alunos do sábio lógico o fizeram beber de tal modo que ele perdeu a sobriedade. Quando o lógico, muito alcoolizado, adormeceu, levaram-no para um cemitério e esconderam-se, esperando a sua análise da situação.
Que foi a seguinte:
Ou estou vivo ou não estou. Se estou vivo, então que faço aqui? Se estou morto, então por que quero ir à casa de banho?
Nesta história, o princípio é usado de modo inatacável e com algum humor. Na situação que se segue, o uso do princípio do terceiro excluído é algo desconcertante:
No meu próximo exame passarei ou não passarei. Se for verdade que passarei, não obstante o meu desleixo e cabulice, passarei. Se for falso, apesar de todo o meu estudo e afinco, não passarei.
De acordo com o princípio lógico do terceiro excluído, é uma verdade necessária que ou a previsão seja falsa ou verdadeira. Assim, parece estar já predeterminado agora o que acontecerá no futuro.
Aqui nada há de problemático no uso do princípio do terceiro excluído. Mas apenas o sem-sentido de afirmações da forma:
É verdade agora que determinado acontecimento ocorrerá no futuro.
Alguns matemáticos negam que o princípio do terceiro excluído seja uma lei da lógica. Estão neste caso os seguidores da chamada corrente construtivista (intuicionista, numa designação mais antiga). Não aceitam afirmações do tipo: ou existe uma série de oito cincos consecutivos no desenvolvimento decimal de ou não existe. Por que não aceitam isto? Porque não existe uma demonstração construtiva desta existência, nem uma demonstração construtiva da sua não existência (v. «Leituras suplementares i»).
Exame de surpresa
Na segunda-feira de manhã, o professor de Matemática fez o seguinte aviso à turma:
— Darei, esta semana, um exame de surpresa e, na manhã do exame, os alunos não saberão que esse é o dia da prova.
Ao escutá-lo, um dos alunos retorquiu:
— O exame não poderá ser na sexta-feira porque, se o exame não tiver ocorrido até ao final da aula de quinta-feira, então na sexta-feira de manhã eu saberei que esse é o dia e o exame não será de surpresa. Assim, o dia de sexta-feira fica eliminado e quinta-feira é o último dia possível.
Mais, se não tiver havido exame até ao final da aula de quarta- -feira, eu sei que o exame terá lugar na quinta-feira e não será de surpresa, pelo que o dia de quinta-feira fica eliminado.
De igual modo, quarta-feira é eliminada, depois terça-feira e, finalmente, segunda-feira, dia do aviso do exame de surpresa. Logo, o professor não poderá cumprir o que disse!
A turma vibrou e concluiu em coro:
— Portanto, não haverá exame!
Ao que o professor respondeu:
— Agora, terão agora o exame!
Este problema é conhecido por paradoxo do exame inesperado e sobre ele têm sido escritos muitos artigos. Existe uma versão de um dia para este problema, pois a complicação de haver mais de um dia é irrelevante. Consiste no seguinte:
— Darei hoje um exame de surpresa.
Deverão os alunos objectar? Como?
Sim ou não?
São uma ou outra coisa, ou serão ambas?
São «ou» ou serão «e»?
Ou um tudo se passa como se?
António Gedeão, Poema de ser ou não ser
Existem dois princípios basilares em lógica: o princípio da não- -contradição e o princípio do terceiro excluído. Usados acriticamente, estes princípios podem originar problemas.
O princípio da não-contradição estabelece o seguinte:
Não é possível A e não A.
O princípio do terceiro excluído estabelece:
Ou A ou não A.
A propósito do princípio do terceiro excluído, lembramos uma história de Leo Rosten sobre um lógico tão sagaz que conseguia deslindar a mais árdua das questões. Reza que, durante uma festa, os alunos do sábio lógico o fizeram beber de tal modo que ele perdeu a sobriedade. Quando o lógico, muito alcoolizado, adormeceu, levaram-no para um cemitério e esconderam-se, esperando a sua análise da situação.
Que foi a seguinte:
Ou estou vivo ou não estou. Se estou vivo, então que faço aqui? Se estou morto, então por que quero ir à casa de banho?
Nesta história, o princípio é usado de modo inatacável e com algum humor. Na situação que se segue, o uso do princípio do terceiro excluído é algo desconcertante:
No meu próximo exame passarei ou não passarei. Se for verdade que passarei, não obstante o meu desleixo e cabulice, passarei. Se for falso, apesar de todo o meu estudo e afinco, não passarei.
De acordo com o princípio lógico do terceiro excluído, é uma verdade necessária que ou a previsão seja falsa ou verdadeira. Assim, parece estar já predeterminado agora o que acontecerá no futuro.
Aqui nada há de problemático no uso do princípio do terceiro excluído. Mas apenas o sem-sentido de afirmações da forma:
É verdade agora que determinado acontecimento ocorrerá no futuro.
Alguns matemáticos negam que o princípio do terceiro excluído seja uma lei da lógica. Estão neste caso os seguidores da chamada corrente construtivista (intuicionista, numa designação mais antiga). Não aceitam afirmações do tipo: ou existe uma série de oito cincos consecutivos no desenvolvimento decimal de ou não existe. Por que não aceitam isto? Porque não existe uma demonstração construtiva desta existência, nem uma demonstração construtiva da sua não existência (v. «Leituras suplementares i»).
Exame de surpresa
Na segunda-feira de manhã, o professor de Matemática fez o seguinte aviso à turma:
— Darei, esta semana, um exame de surpresa e, na manhã do exame, os alunos não saberão que esse é o dia da prova.
Ao escutá-lo, um dos alunos retorquiu:
— O exame não poderá ser na sexta-feira porque, se o exame não tiver ocorrido até ao final da aula de quinta-feira, então na sexta-feira de manhã eu saberei que esse é o dia e o exame não será de surpresa. Assim, o dia de sexta-feira fica eliminado e quinta-feira é o último dia possível.
Mais, se não tiver havido exame até ao final da aula de quarta- -feira, eu sei que o exame terá lugar na quinta-feira e não será de surpresa, pelo que o dia de quinta-feira fica eliminado.
De igual modo, quarta-feira é eliminada, depois terça-feira e, finalmente, segunda-feira, dia do aviso do exame de surpresa. Logo, o professor não poderá cumprir o que disse!
A turma vibrou e concluiu em coro:
— Portanto, não haverá exame!
Ao que o professor respondeu:
— Agora, terão agora o exame!
Este problema é conhecido por paradoxo do exame inesperado e sobre ele têm sido escritos muitos artigos. Existe uma versão de um dia para este problema, pois a complicação de haver mais de um dia é irrelevante. Consiste no seguinte:
— Darei hoje um exame de surpresa.
Deverão os alunos objectar? Como?
Um história sem fim
O matemático Stanislaw Ulam adverte que «para ser criativo em ciências é importantíssimo não desistir». E ainda: «Se formos optimistas, estaremos mais dispostos a tentar do que se formos pessimistas. Passa-se o mesmo em jogos como o xadrez. Um jogador de xadrez tende a acreditar (por vezes erradamente) que está numa posição melhor do que o adversário. Isto, é claro, ajuda a que o jogo se mantenha em progressão e não aumenta a fadiga criada pela dúvida pessoal.»
A matemática é uma arte criativa. A imaginação matemática requer fundamentos sólidos, bom treino de técnicas, domínio de mecanismos de computação, memorização de conceitos ...
Reduzir todo o processo de aprendizagem a um processo de auto-descoberta é uma utopia. O conhecimento constrói-se com base no esforço de muitas gerações. Pedir ao estudante que percorra, por si, todo esse processo não é razoável ou sequer viável.
A perseverança é uma qualidade de grande valor para a prática matemática. Desistir à(s) primeira(s) tentativa(s) é um erro crasso.
A matemática é uma das mais notáveis criações da inteligência humana. É uma busca interminável que se estende desde os alvores do tempo até aos nossos tempos. Depois de um teorema demonstrado, há sempre o desafio de uma conjectura em aberto.
O célebre matemático Wiles — que resolveu um mistério matemático de séculos, o último teorema de Fermat — diz que atacar um problema «é como entrar numa mansão às escuras. Entramos numa sala e tropeçamos durante meses, mesmo anos, na mobília. Lentamente ficamos a saber onde estão todas as peças do mobiliário e procuramos o interruptor da luz. Acendemos a luz e a sala fica toda iluminada. Então passamos à sala seguinte e repetimos o processo.»
Na história da matemática, progresso e paradoxo caminham a par.
A matemática é uma arte criativa. A imaginação matemática requer fundamentos sólidos, bom treino de técnicas, domínio de mecanismos de computação, memorização de conceitos ...
Reduzir todo o processo de aprendizagem a um processo de auto-descoberta é uma utopia. O conhecimento constrói-se com base no esforço de muitas gerações. Pedir ao estudante que percorra, por si, todo esse processo não é razoável ou sequer viável.
A perseverança é uma qualidade de grande valor para a prática matemática. Desistir à(s) primeira(s) tentativa(s) é um erro crasso.
A matemática é uma das mais notáveis criações da inteligência humana. É uma busca interminável que se estende desde os alvores do tempo até aos nossos tempos. Depois de um teorema demonstrado, há sempre o desafio de uma conjectura em aberto.
O célebre matemático Wiles — que resolveu um mistério matemático de séculos, o último teorema de Fermat — diz que atacar um problema «é como entrar numa mansão às escuras. Entramos numa sala e tropeçamos durante meses, mesmo anos, na mobília. Lentamente ficamos a saber onde estão todas as peças do mobiliário e procuramos o interruptor da luz. Acendemos a luz e a sala fica toda iluminada. Então passamos à sala seguinte e repetimos o processo.»
Na história da matemática, progresso e paradoxo caminham a par.
A inutilidade do labor
Que apelo irresistível leva os matemáticos a encetarem estas buscas? Que utilidade terá este labor? De igual modo podemos perguntar: que utilidade tem para o mundo a queda de recordes desportivos? Por que perseguem os desportistas com tanto afã os seus próprios recordes?
O matemático inglês G. H. Hardy, especialista em teoria dos números, deliciava-se com a inutilidade das suas pesquisas. Para ele, a matemática pela matemática era a palavra de ordem. «Nunca fiz nada de útil. Nenhuma das minhas descobertas fez, ou é provável que faça, directa ou indirectamente, para o bem ou para o mal, a mais pequena diferença para o bem-estar do mundo.»
Einstein afirmou: «Acredito, como Schöpenhauer, que um dos motivos mais fortes que levaram o homem a dedicar-se à arte e à ciência foi querer fugir à vida do dia a dia, com a sua penosa crueza e deprimente desesperança, às grilhetas dos próprios desejos em permanente mudança.»
Russell confirma esta ideia: teve uma juventude atribulada e chegou a pensar em suicidar-se. Confessou que desistiu porque havia belos problemas matemáticos para resolver.
O matemático inglês G. H. Hardy, especialista em teoria dos números, deliciava-se com a inutilidade das suas pesquisas. Para ele, a matemática pela matemática era a palavra de ordem. «Nunca fiz nada de útil. Nenhuma das minhas descobertas fez, ou é provável que faça, directa ou indirectamente, para o bem ou para o mal, a mais pequena diferença para o bem-estar do mundo.»
Einstein afirmou: «Acredito, como Schöpenhauer, que um dos motivos mais fortes que levaram o homem a dedicar-se à arte e à ciência foi querer fugir à vida do dia a dia, com a sua penosa crueza e deprimente desesperança, às grilhetas dos próprios desejos em permanente mudança.»
Russell confirma esta ideia: teve uma juventude atribulada e chegou a pensar em suicidar-se. Confessou que desistiu porque havia belos problemas matemáticos para resolver.
lógico
O notável paradoxo da matemática
O notável paradoxo da matemática é este: embora os seus praticantes não cuidem das aplicações e do mundo real, produzem as melhores ferramentas para o compreender.
Os Gregos, sem razão especial, estudaram uma curva denominada elipse e 2000 mais tarde os astrónomos descobriram que ela descreve a forma da trajectória dos planetas em torno do Sol.
Em 1854, Riemann «substituiu» o postulado das paralelas por um contraditório e o plano euclidiano por uma abstracção bizarra chamada espaço curvo. Sessenta anos volvidos, Einstein anunciou que era esta a forma do universo ...
9. Matemática ao alcance de todos
Na escola básica aprendemos a contar, a fazer cálculos e a medir. Enquanto principiantes, achámos estas práticas cheias de mistério e de dificuldades. Porém, uma vez aprendidas, parecem-nos rotineiras, elementares e ao alcance de qualquer um.
Lidar com a matemática requer certas capacidades especiais, se não algum talento — da mesma forma que a música, a dança, o desporto. Mesmo que a maioria de nós não possa vir a tornar-se um grande desportista, bailarino ou músico, todos sabem em que consistem estas actividades e praticamente todos sabem dançar, cantar, praticar desportos.
O notável paradoxo da matemática é este: embora os seus praticantes não cuidem das aplicações e do mundo real, produzem as melhores ferramentas para o compreender.
Os Gregos, sem razão especial, estudaram uma curva denominada elipse e 2000 mais tarde os astrónomos descobriram que ela descreve a forma da trajectória dos planetas em torno do Sol.
Em 1854, Riemann «substituiu» o postulado das paralelas por um contraditório e o plano euclidiano por uma abstracção bizarra chamada espaço curvo. Sessenta anos volvidos, Einstein anunciou que era esta a forma do universo ...
9. Matemática ao alcance de todos
Na escola básica aprendemos a contar, a fazer cálculos e a medir. Enquanto principiantes, achámos estas práticas cheias de mistério e de dificuldades. Porém, uma vez aprendidas, parecem-nos rotineiras, elementares e ao alcance de qualquer um.
Lidar com a matemática requer certas capacidades especiais, se não algum talento — da mesma forma que a música, a dança, o desporto. Mesmo que a maioria de nós não possa vir a tornar-se um grande desportista, bailarino ou músico, todos sabem em que consistem estas actividades e praticamente todos sabem dançar, cantar, praticar desportos.
um jogo
Diz-se que a matemática é um jogo juvenil. Muitas desco- bertas matemáticas notáveis foram realizadas por jovens. Galois, Gauss, Riemann, Abel, foram grandes matemáticos em idade precoce. A matemática é predominantemente um labor da juventude, tal como a poesia, contrariamente à história ou às ciências jurí- dicas, saberes cumulativos que requerem longa preparação e maturação.
Há na matemática áreas que não exigem grandes conhecimentos técnicos, como a teoria elementar dos números, a teoria dos grafos ou o cálculo combinatório. É possível explicar a uma criança certos conceitos, como, por exemplo, o de número primo (número diferente de 1 e que só é divisível por 1 e por si próprio). Com a sua perspicácia e argúcia, a criança pode explorar-lhes as propriedades com a delícia de um jogo.
Como diria o diabo dos números, o que há de diabólico nos números é o facto de serem tão simples. Existem conjecturas antigas nesta área que ainda não foram solucionadas. É o caso da conjectura de Goldbach: todo o número par maior do que 2 é soma de dois primos. Com efeito, 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ... mas como provar este facto em geral?
Há na matemática áreas que não exigem grandes conhecimentos técnicos, como a teoria elementar dos números, a teoria dos grafos ou o cálculo combinatório. É possível explicar a uma criança certos conceitos, como, por exemplo, o de número primo (número diferente de 1 e que só é divisível por 1 e por si próprio). Com a sua perspicácia e argúcia, a criança pode explorar-lhes as propriedades com a delícia de um jogo.
Como diria o diabo dos números, o que há de diabólico nos números é o facto de serem tão simples. Existem conjecturas antigas nesta área que ainda não foram solucionadas. É o caso da conjectura de Goldbach: todo o número par maior do que 2 é soma de dois primos. Com efeito, 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ... mas como provar este facto em geral?
Bela ou monstro
ntribuem para essa imagem negativa que a sociedade guarda e nisso os matemáticos têm a sua quota de responsabilidade.
Que pensa o leitor do seguinte letreiro que um matemático exibe à porta do gabinete: «Quem não for capaz de lidar com a matemática não é totalmente humano. Na melhor das hipóteses, é um sub-humano tolerável que aprendeu a usar sapatos, a tomar banho e a não fazer porcarias em casa.»
Compreendo muito bem que muitos jovens (e menos jovens) sintam dificuldades a matemática, porque também me custa tantas vezes compreendê-la no seu entretecido de ideias profundas. Até nos grandes fóruns de matemáticos há muita frustração — mesmo os especialistas têm dificuldades em seguir uma exposição matemática com o seu emaranhado de símbolos e aspectos técnicos, a sua linguagem hermética. É possível que muitos se percam logo nos primeiros minutos. Certas áreas da matemática requerem anos de labor, familiarização com notações pesadas, assimilação de definições e técnicas intrincadas, treino de rotinas, memorização de proposições, teoremas e corolários (nomenclatura que os matemáticos usam para as suas descobertas).
Concordo que a matemática tem aspectos desinteressantes.
E confesso que para ter vislumbres da sua impressionante beleza há que atravessar verdadeiros desertos. O encanto da matemática revela-se após a exploração de árduos caminhos. A fase de pesquisa entusiástica alterna com longos e complexos momentos de impasse e até mesmo desânimo.
Mas quem alguma vez lograr alcançar essa beleza jamais recobrará desse febril assombro. O «vírus» da matemática, como alguém me fez notar, quando se contrai, é para sempre. Apossa-se como uma paixão a que é impossível resistir.
Que pensa o leitor do seguinte letreiro que um matemático exibe à porta do gabinete: «Quem não for capaz de lidar com a matemática não é totalmente humano. Na melhor das hipóteses, é um sub-humano tolerável que aprendeu a usar sapatos, a tomar banho e a não fazer porcarias em casa.»
Compreendo muito bem que muitos jovens (e menos jovens) sintam dificuldades a matemática, porque também me custa tantas vezes compreendê-la no seu entretecido de ideias profundas. Até nos grandes fóruns de matemáticos há muita frustração — mesmo os especialistas têm dificuldades em seguir uma exposição matemática com o seu emaranhado de símbolos e aspectos técnicos, a sua linguagem hermética. É possível que muitos se percam logo nos primeiros minutos. Certas áreas da matemática requerem anos de labor, familiarização com notações pesadas, assimilação de definições e técnicas intrincadas, treino de rotinas, memorização de proposições, teoremas e corolários (nomenclatura que os matemáticos usam para as suas descobertas).
Concordo que a matemática tem aspectos desinteressantes.
E confesso que para ter vislumbres da sua impressionante beleza há que atravessar verdadeiros desertos. O encanto da matemática revela-se após a exploração de árduos caminhos. A fase de pesquisa entusiástica alterna com longos e complexos momentos de impasse e até mesmo desânimo.
Mas quem alguma vez lograr alcançar essa beleza jamais recobrará desse febril assombro. O «vírus» da matemática, como alguém me fez notar, quando se contrai, é para sempre. Apossa-se como uma paixão a que é impossível resistir.
porque matemática
O objectivo do professor de Matemática não consiste em ensinar retórica, mas em despertar no aluno a «sua» dimensão matemática. A matemática é um saber estruturante do raciocínio, um jogo, uma arte, não um conjunto de coisas mortas do passado. Para decifrar o mundo, o texto do mundo, há que saber raciocinar. Muitos enigmas famosos mostram o envolvimento do raciocínio matemático no mundo que nos rodeia. Vários factos da vida comum têm razões do domínio matemático. Por exemplo: por que será tão difícil acertar na chave do totobola?
A matemática faz parte do nosso quotidiano. As rotinas da vida corrente desenrolam-se num cenário matematizado. Utilizamos matemática quando gerimos as finanças domésticas, construímos as nossas casas, seguramos os nossos carros e haveres, viajamos de avião ... A matemática é a linguagem da ciência e da tecnologia. É essencial em campos tão diversos como a arquitectura, engenharia, economia, medicina ...
Todavia, não vale a pena fazer exercícios patéticos que falam da vida real mas que adulteram a natureza da matemática.
Num mundo cada vez mais complexo e em que as incertezas (ambientais, económicas, etc.) constituem uma ameaça, a matemática permite prever riscos e planear estratégias. A matemática estimula. A cada instante aparecem novas descobertas. Há problemas cuja solução se procura há muito e que resistem obstinadamente aos mais variados ataques.
Na frente social, o grande desafio da matemática é a gestão da incerteza. Não surpreende, pois, que novos campos promissores da matemática sejam a teoria das catástrofes e a teoria do caos.
A matemática faz parte do nosso quotidiano. As rotinas da vida corrente desenrolam-se num cenário matematizado. Utilizamos matemática quando gerimos as finanças domésticas, construímos as nossas casas, seguramos os nossos carros e haveres, viajamos de avião ... A matemática é a linguagem da ciência e da tecnologia. É essencial em campos tão diversos como a arquitectura, engenharia, economia, medicina ...
Todavia, não vale a pena fazer exercícios patéticos que falam da vida real mas que adulteram a natureza da matemática.
Num mundo cada vez mais complexo e em que as incertezas (ambientais, económicas, etc.) constituem uma ameaça, a matemática permite prever riscos e planear estratégias. A matemática estimula. A cada instante aparecem novas descobertas. Há problemas cuja solução se procura há muito e que resistem obstinadamente aos mais variados ataques.
Na frente social, o grande desafio da matemática é a gestão da incerteza. Não surpreende, pois, que novos campos promissores da matemática sejam a teoria das catástrofes e a teoria do caos.
Um advogado
Conta-se que o sofista Protágoras ensinou retórica a Euatlo, preparando-o para defender causas em tribunal. Acertaram que o discípulo só pagaria as lições após vencer a sua primeira causa.
Concluída a aprendizagem, Euatlo decidiu não defender causas e não pagar ao mestre. Então Protágoras processou-o por não pagamento.
A argumentação era do seguinte teor:
Protágoras — Se eu ganhar a causa, Euatlo deverá pagar por ordem do tribunal. Se eu perder, Euatlo deverá pagar nos termos do acordo. De qualquer modo, deverei ser pago.
Euatlo — Não pago! De modo algum deverei pagar. Se eu ganhar a causa, não terei de pagar. Se perder, nos termos do contrato com Protágoras, não deverei pagar.
Afinal, quem tem razão? Protágoras ou Euatlo? Ou os dois? Uma coisa parece certa, Euatlo aprendeu com o mestre as suas artes.
Concluída a aprendizagem, Euatlo decidiu não defender causas e não pagar ao mestre. Então Protágoras processou-o por não pagamento.
A argumentação era do seguinte teor:
Protágoras — Se eu ganhar a causa, Euatlo deverá pagar por ordem do tribunal. Se eu perder, Euatlo deverá pagar nos termos do acordo. De qualquer modo, deverei ser pago.
Euatlo — Não pago! De modo algum deverei pagar. Se eu ganhar a causa, não terei de pagar. Se perder, nos termos do contrato com Protágoras, não deverei pagar.
Afinal, quem tem razão? Protágoras ou Euatlo? Ou os dois? Uma coisa parece certa, Euatlo aprendeu com o mestre as suas artes.
Uns doces bem amargos
O Filipe sentou-se na cadeira e tirou do saco os chocolates e enfeites para a árvore de Natal.
— Mãe! Estes chocolates devem ser mesmo apetitosos! — insinuou. Como a mãe não percebeu onde queria chegar, resolveu ser mais directo. — Posso comer algum?...
— É todos os anos a mesma história! — fingiu lamentar-se a mãe. — Mas este ano já estou prevenida. Comprei 30 bombons para comeres até ao Natal... — O sorriso do Filipe quase se encostou às orelhas! «Quem tem uma mãe tem tudo!», pensou. — ... mas — continuou a mãe — desafio-te para um pequeno problema.
— Por mim está tudo bem! Aceito qualquer tipo de desafio.
O Filipe não se mostrou nada contrariado. «Se a mãe pretendia saber quanto tempo demoraria a comer todos os doces, a resposta era: alguns segundos!»
— Então repara! Faltam 5 dias para o dia de Natal. Tens de comer todos os bombons em 5 dias, comendo em cada dia um número ímpar de bombons.
— Fácil! — adiantou o Filipe. — No primeiro dia como 29, no segundo, infelizmente, 1 e nos restantes dias, mais infelizmente ainda, nenhum.
— Repara que isso não é assim tão simples! Como zero é um número par, em cada dia tens de comer, no mínimo, 1 bombom. Não é assim?...
— É verdade! Não posso fazer o que disse, mas isso é uma questão de minutos. Meia dúzia de cálculos e não há bombons que resistam.
— Pois! — disse a mãe. — Tens é de me prometer que não comes nenhum até encontrares uma solução.
Nesta altura o Filipe tremeu. Teria caído em alguma armadilha? Claro que não! Ele até sabia resolver equações do 2.o grau, quanto mais exercícios de trazer por casa.
2. Um TPC diabólico
O Filipe preparava-se para passar umas férias de Carnaval deliciosas quando o professor de Matemática resolveu, no último momento, marcar um TPC para as férias. E que TPC!...
Cada aluno teria de representar no geoplano 30 polígonos diferentes e, considerando a distância entre cada pino igual à unidade, determinar a área de cada uma dessas figuras.
O Filipe até sabia como proceder: decompunha cada figura em quadrados, rectângulos ou triângulos e somava as áreas correspondentes. Contudo, todas estas tarefas multiplicadas por 30 dariam certamente umas férias geométricas.
— Professor?!... Mas vai ter imenso trabalho a corrigir todos os trabalhos! — preocupou-se um dos alunos com esperança de que o aviso fizesse reduzir o volume de trabalho.
— Obrigado pela preocupação, mas não tenham pena de mim! Tenho um método eficaz para corrigir as respostas.
Neste momento ocorreu uma ideia ao Filipe: seria possível determinar a área de cada figura de uma forma mais rápida? Por exemplo, a partir da contagem dos pinos que se situavam sobre a linha poligonal, bem como dos que ficavam dentro dessa linha.
E se tentasse?!...
— Mãe! Estes chocolates devem ser mesmo apetitosos! — insinuou. Como a mãe não percebeu onde queria chegar, resolveu ser mais directo. — Posso comer algum?...
— É todos os anos a mesma história! — fingiu lamentar-se a mãe. — Mas este ano já estou prevenida. Comprei 30 bombons para comeres até ao Natal... — O sorriso do Filipe quase se encostou às orelhas! «Quem tem uma mãe tem tudo!», pensou. — ... mas — continuou a mãe — desafio-te para um pequeno problema.
— Por mim está tudo bem! Aceito qualquer tipo de desafio.
O Filipe não se mostrou nada contrariado. «Se a mãe pretendia saber quanto tempo demoraria a comer todos os doces, a resposta era: alguns segundos!»
— Então repara! Faltam 5 dias para o dia de Natal. Tens de comer todos os bombons em 5 dias, comendo em cada dia um número ímpar de bombons.
— Fácil! — adiantou o Filipe. — No primeiro dia como 29, no segundo, infelizmente, 1 e nos restantes dias, mais infelizmente ainda, nenhum.
— Repara que isso não é assim tão simples! Como zero é um número par, em cada dia tens de comer, no mínimo, 1 bombom. Não é assim?...
— É verdade! Não posso fazer o que disse, mas isso é uma questão de minutos. Meia dúzia de cálculos e não há bombons que resistam.
— Pois! — disse a mãe. — Tens é de me prometer que não comes nenhum até encontrares uma solução.
Nesta altura o Filipe tremeu. Teria caído em alguma armadilha? Claro que não! Ele até sabia resolver equações do 2.o grau, quanto mais exercícios de trazer por casa.
2. Um TPC diabólico
O Filipe preparava-se para passar umas férias de Carnaval deliciosas quando o professor de Matemática resolveu, no último momento, marcar um TPC para as férias. E que TPC!...
Cada aluno teria de representar no geoplano 30 polígonos diferentes e, considerando a distância entre cada pino igual à unidade, determinar a área de cada uma dessas figuras.
O Filipe até sabia como proceder: decompunha cada figura em quadrados, rectângulos ou triângulos e somava as áreas correspondentes. Contudo, todas estas tarefas multiplicadas por 30 dariam certamente umas férias geométricas.
— Professor?!... Mas vai ter imenso trabalho a corrigir todos os trabalhos! — preocupou-se um dos alunos com esperança de que o aviso fizesse reduzir o volume de trabalho.
— Obrigado pela preocupação, mas não tenham pena de mim! Tenho um método eficaz para corrigir as respostas.
Neste momento ocorreu uma ideia ao Filipe: seria possível determinar a área de cada figura de uma forma mais rápida? Por exemplo, a partir da contagem dos pinos que se situavam sobre a linha poligonal, bem como dos que ficavam dentro dessa linha.
E se tentasse?!...
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