quarta-feira, 5 de novembro de 2008

Matematicos no século quinto antes de Cristo

MATEMATICOS DO SÉCULO QUINTO ANTES DE CRISTO

Há uma tendência natural da história de simplificar fatos, enaltecendo alguns personagens através de um processo de mitificação e mistificação destes personagens transformando-os em heróis realizadores de feitos extraordinários. Muitos destes fatos foram executados por outros, ou nunca foram executados. Em quanto que o herói é enaltecido e cultuado outros personagens importantes e seus feitos são esquecidos e perdem-se.

PÉRICLES
ANAXAGORAS
Nasceu em Jônia, terra de Tales.
Foi preso em Atenas por impiedade( não acreditar nos deuses), ao assegurar que o sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente e que a lua tomava seu brilho emprestado do sol ( 0 sol põe na lua seu clarão[1]). Ou seja, Anaxágoras era um homem extremamente racional como outros tantas da Grécia do século V. Escreveu um livro foi um grande sucesso: Sobre a natureza, que vendeu muitos exemplares em Atenas por um preço módico. Foi professor de Péricles que o libertou da prisão. Seduziu até mesmo Sócrates temporariamente com suas idéias cientificas. Apesar de filosofo da natureza, um físico diríamos hoje, também teve interesses matemáticos. Em quanto esteve preso ocupou-se da tentativa de quadrar o circulo. Falemos um pouco sobre este problema.
A QUADRATURA DO CIRCULO
Este problema fascinou e fascina aos matemáticos e a muitos amadores durante os dois últimos milênios: Construir um quadrado com área igual a de um circulo dado. È importante compreender que na solução deste problema só é permitido usar os chamados instrumentos euclidianos. Ou seja, uma régua não graduada que é utilizada para traçar segmentos que passem por dois pontos definidos e um compasso para construir circunferências passando por um ponto central e um segundo ponto qualquer. Este compasso difere dos modernos, pois não permite transportar distancias. Dizendo de outro modo, o compasso euclidiano se desmonta quando se levanta um de seus braços do papel.
Não se sabe qual a contribuição de Anaxágoras na tentativa de solução deste problema. Hoje, sabemos que a solução deste problema com instrumento euclidiano é impossível. Falaremos mais sobre ele posteriormente.

HIPÓCRATES DE CHIOS[2]

Era mercador, mais jovem e conterrâneo de Anaxágoras deixou sua terra e foi morar em Atenas, não era muito astuto e perdeu seu dinheiro em Bizâncio em uma fraude ou talvez tenha sido atacado por piratas, não se sabe ou certo. Em conseqüência da perda de sua fortuna se voltou ao estudo da geometria com grande sucesso. Segundo Proclus, Hipócrates escreveu uma obra chamada Elementos de geometria, um século antes da de Euclides. Esta obra foi perdida, junto com todas as outras obras matemáticas do quito século. No entanto, há um fragmento que num texto de Simplicio[3] copiado da história da matemática de Eudemo que atribui a Hipócrates o teorema abaixo:
Segmentos de círculos semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas bases.
A Tradição atribui ainda a Hipócrates muito do que está no s livros III e IV de Os Elementos de Euclides. Antes de tentarmos compreendermos o teorema acima vamos ver estudar um pouco destes dois livros.
Não é atribuída a Euclides a descoberta de nenhum teorema, Euclides apenas dentro do método dedutivo axiomático conteúdos já estudado aprofundado por outros. Assim ele teria feito com as pesquisas de Hipócrates sobre circulo presente nos livros Três e Quatro dos Elementos. Vamos ao estudo destes livros.
[1] Citamos a partir de Os Pré-Socráticos da coleção os pensadores.
[2] Não confundir com seu contemporâneo muito famoso o médico Hipocrates de Cós.
[3] Pesquisar.

PItagoras e os pitagoricos

PITÁGORAS E OS PITAGÓRICOS
Pitágoras é uma figura historicamente vaga, cercado de lendas e mitos. Mistura de cientista, profeta e místico. Ao que parece nasceu no ano 572 a.C.na ilha de Samos. É quase certo que tenha sido discípulo de Tales, fez varias viagens, passado pelo Egito, Babilônia e talvez até a Índia. Em suas viagens aprendeu matemática, astronomia, e também muitas idéias religiosas. De volta ao mundo grego estabeleceu-se onde agora é a Itália, em Crotona. Fundou uma seita secreta, hoje chamada de escola Pitagórica, uma irmandade que além de dedicar-se a filosofia, matemática e ciências naturais dedicavam-se ainda a misteriosos ritos secretos.
CRENÇAS E DOGMAS PITAGORICOS
De longas viagens Pitágoras incorporou não apenas a ciência primitiva, mas também várias crenças religiosas, políticas e filosóficas.
Cresça na reencarnação ou transmigração das almas. As pessoas podiam reencarnar até mesmo em animais. Devido a está crença os pitagóricos não se alimentavam de carne, pois o animal morto poderia ser a nova morada de um amigo.
Eram politicamente conservadores apoiando as aristocracias e mesmo tiranos. As forças democráticas destruíram vários prédios e fez que com a escola se espalhasse por toda a Grécia, divulgando suas doutrinas e conquistando discípulos.
Crença que a causa última das várias características do homem e da matéria são as números (inteiros positivos). Tudo é número. Em outras palavras os pitagóricos criam que os números governam o mundo.Então, nada mais justo que cultuar os números e estudar sua natureza e propriedades, são eles os criadores da primeiras teorias dos números.
ARITMETICA PITAGORICA
Antes de qualquer coisa é preciso saber que os gregos faziam uma distinção entre aritmética e logística. A primeira trata das relações abstratas entre números e suas propriedades, a segunda trata da arte prática de cálculo necessária em todos os momentos da vida cotidiana. Chamamos hoje de teoria dos números o que era para os gregos era aritmética, e de aritmética a arte prática de cálculo.
Para enaltecer os ideais da fraternidade os pitagóricos criaram os números amigáveis e os perfeitos. Vejamos cada um deles em detalhes.
Dois números de dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores inteiros positivos do outro, excluindo esse outro número. Exemplo 284 e 220. Os divisores de 220, excluído ele mesmo, são1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55,110 cuja soma é 284. E os divisores de 284, excluído ele mesmo, são 1,2,4,71,142 cuja a soma é 220. Atribui-se a Pitágoras a criação da superstição que dois talismãs contendo esses números selariam uma amizade perfeita entre que os usasse. Outros números amigáveis 17.296 e 18.416, descobertos por Fermat em 1636.

Tales4

A tradição e fontes antigas fazem referencias a alguns trabalhos práticos de tales, vejamos esses trabalhos:
1. Medição da altura da pirâmide egípcia a partir da sombra da pirâmide.
2. Predição de um eclipse solar.
3. Calculo da distancia de um navio no mar por semelhança de triângulos.
Segundo Freudedenthal[1], um educador matemático holandês, o método utilizado por tales foi o seguinte: na figura 4, o navio está em A e BC é a linha do litoral. Seja AB um segmento perpendicular à costa. Coloque um poste em C. Prolongue BC, na extensão do seu comprimento, de sorte que . A partir de D vá para o interior , perpendicular a CD, até ver o poste C alinhado com o navio A. Quando isto acontecer no ponto E, basta medir DE na terra , então você terá encontrado a distancia procurada.
[1] Citado por Antonio José Lopes Bigode página 149 em Matemática Atual, 8º serie, , São Paulo,Atual, 1994.

Tales3

1. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas são iguais. (Comentamos este teorema acima.).
2. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro , então os triângulos são congruentes.
Comentários:
Considere dois triângulos quaisquer, por exemplo o ∆ABC e o ∆DEF, onde e
No pensamento dos escribas babilônicos e egípcios era obvio que o ângulo a era congruente ao b. Na dúvida bastava recorta a figura e sobrepor os ângulos a e b. Tales não achou suficiente. De a seguinte explicação: a soma do ângulo a com o b é igual ao ângulo raso, o mesmo acontece com a soma de b com c. logo estas somas são iguais. Subtraindo b do primeiro e segundo membro obtemos a igualdade entre a e b.
Em símbolos:
:
Com esse tipo de raciocínio Tales , segundo a tradição , inventou uma nova matemática que o alcance não demorou a ser percebido, talvez, em primeira mão por Pitágoras e deus discípulos.
Proclus atribui a Tales quatro teoremas:
1. Um círculo é bissectado pelo seu diâmetro.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
Comentários: Sabemos que um triângulo é isósceles se tem dois lados com mesma medida, na figura 2, temos méd.(AB)=med(AC). O lado com medida diferente, no caso CB, é chamado base. O que o teorema afirma é que o.

Tales 1

Tales nasceu na cidade de Mileto por volta do ano 625 a.C. era mercador o que lhe possibilitou viajar par diversos lugares, principalmente para o Egito e Babilônia onde teve condição de obter vastos conhecimentos sobre filosofia, matemática e astronomia. A tradição diz que Tales foi primeiro dos filósofos e o primeiro dos sete sábios.
Em suas viagens pelo Egito aprendeu a matemática prática egípcia e aperfeiçôo-a aplicando–a na resolução de problemas como cálculo da altura de uma pirâmide e principalmente investigando de modo mais intimo alguns conhecimentos considerados óbvios para os escribas egípcios como o que hoje chamamos de teorema dos ângulos opostos pelos vértices (o.p.v.), veja a figura 1.

A matematica egipicia

Os antigos egípcios inventaram um material parecido com papel, o papiro. Esse material era feito de juncos de uma planta aquática que após cortado em tiras e seco ao sol podia ser usado para a escrita. Também usavam para escrita ao pergaminho feito com couro de carneiro. Muitos de papiros foram encontrados, traduzidos e estudados. Sabe-se que a matemática egípcia era inferior à babilônica. Tinham um sistema de numeração aditivo bem desenvolvido que permitiam realizar multiplicações e divisões com rapidez. Trabalhavam com frações e algumas notações algébricas elementares.Tinham conhecimento prático de geometria que possibilitou a construção das grandes pirâmides.

A matemaica Babilonica

FONTES
Os babilônios escreviam em pequenos blocos de argila. Muitas desses blocos foram encontradas, traduzidas. Há aproximadamente 400 que tratam de matemática. Ou seja, temos bastantes informações sobre a matemática da Babilônia.
Esses blocos mostram que a matemática babilônica era essencialmente prática. Calculavam juros simples e composto. Tinham tabelas de exponenciais. Elaboraram um calendário.
A GEOMETRIA BABILÔNICA
Em geometria, calculavam áreas de retângulos, triângulos, trapézio retângulo e volume de paralelepípedo. Conheciam o teorema posteriormente atribuído a Pitágoras. Desenvolveram uma álgebra retórica. Resolviam equações do segundo grau pelo método de completar quadrados e sistema de equações por um método da substituição.

As sociedades antigas

Por volta do ano 5000 antes de cristo, em algumas partes do mundo os povos foram impelidos para agricultura em função de mudanças no clima do mundo. No oriente Médio, na áfrica, na Ásia as savanas viram desertos, os rios secam e os animais que viviam nessas regiões desaparecem e o homem já não pode mais viver da caça. Fixa-se, então, na margem de grandes rios. Isto é, adota um estilo de vida sedentário, constroem aldeias, vilas, cidades. Surge uma organização política chamada cidade-estado: um pequeno reino que não passa de uma vila( região urbana) cercada por uma região rural. Em algum momento esta cidades-estado se unificam e formam estados maiores e até impérios.

Surge então uma burocracia religiosa que cuida da administração, cria a escrita, matem diversos registro. E tem tempo livre para dedicar-se aos mistérios da natureza e da ciência. O comércio também se desenvolve.
Não esqueçamos, no entanto que a maioria da população vivia da agricultura e não tinha tempo para os luxos dos sacerdotes.
A descrição acima corresponde muito bem ao que aconteceu na babilônia e no Egito. Vamos comentar então a matemática destes povos.

Euclides

Euclides foi um homem que, possivelmente, não descobriu sequer uma só lei importante da geometria. No entanto, ele é o mais famoso geômetra já conhecido, e por boas razões: foi através de sua janela que, durante milênios, as pessoas olharam primeiramente quando contemplaram a geometria. Atualmente, ele é o nosso garoto-propaganda da primeira grande revolução no conceito do espaço - o nascimento da abstração e a idéia de demonstração.
O conceito de espaço começou, naturalmente, como um conceito de lugar, o nosso lugar, a Terra. Começou com um desenvolvimento técnico que os egípcios e os babilônios chamavam de "medida da terra". A palavra grega para isto é geometria, mas os assuntos não são totalmente iguais. Os gregos foram os primeiros a perceber que a natureza poderia ser entendida usando-se a matemática - que a geometria poderia ser aplicada para revelar, não apenas para descrever. Desenvolvendo a geometria a partir de descrições simples de pedra e areia, os gregos extraíram as idéias de ponto, linha e plano. Retirando a cortina que encobria a matéria, eles revelaram uma estrutura possuidora de uma beleza que a civilização nunca tinha visto antes. No clímax desta luta para inventar a matemática destaca-se Euclides. A história de Euclides é uma história de revolução. É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do nascimento da própria razão.
O SONHODE DEUS NA CRIAÇÃO DESTRUÍDO PELO HOMEM

Ao final, o homem destruiu o seu mundo que se chamava Terra.
A Terra havia sido linda até que o espírito do homem
Se moveu sobre a sua face e destruiu todas as coisas...


E disse o homem: "Que haja Trevas!"
E ao homem pareceram boas as Trevas,
E deu a elas o nome de: "Segurança, Ordem, Progresso"
E dividiu a si mesmo em raças, religiões e classes sociais.
E uns homens ficaram explorando muitos outros,
E umas nações ficaram dominando muitas outras.
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sétimo dia antes do final...


E disse o homem: "Que haja um governo forte
Para reinar sobre nós em nossas Trevas.
Que haja exércitos para se matarem mutuamente
Defendendo a ordem e eficiência em nossas Trevas.
Cacemos para destruí-los
Àqueles que nos dizem a verdade, aqui e até os confins da terra.
Porque nós gostamos das nossas Trevas".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer no sexto dia antes do final...


E disse o homem: "Que haja pena de morte
Para aqueles que nos incomodam.
Que haja câmaras de gás e fornos crematórios
Para aqueles que discordam de nos.
Que haja foguetes programados e bombas químicas
Para vingar-nos dos nossos inimigos.
Antes de tudo, que cada um defenda seus próprios interesses,
E que vença o mais forte!"
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quinto dia antes do final...

E disse o homem: "Que haja drogas e todo tipo de
Fuga e alienação para esquecer o nosso vazio,
Para compensar as nossas frustrações,
Para aliviar nossas moléstias.
Que todo abuso seja permitido, mesmo corrompendo
Nossas mentes e nossos corações".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No quarto dia antes do final...

E disse o homem: "Matemos nossa Mãe Terra
Para roubar suas riquezas.
Arrasemos suas florestas e animais,
Poluamos suas águas e o seu ar.
Adoremos por primeiro o Capital; ele e o nosso pai.
Veneremos o dinheiro e lutemos pelo lucro;
Isto é o principal".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
No terceiro dia antes do final...

E, por fim, disse o homem:
"Façamos Deus à nossa imagem e semelhança
De modo que nenhum outro deus nos faça concorrência.
Proclamemos que Deus pensa assim como nós pensamos
E que odeia assim como nós odiamos
E que mata como nós matamos".
E não havia nenhum entardecer e nenhum amanhecer
Neste segundo dia antes do final...

No último dia, o homem e a mulher
Desligaram-se definitivamente de Deus
E da sua Palavra.
E houve um grande estrondo sobre a face da Terra.
O fogo atômico queimou o lindo globo terrestre
E houve silencio...
E viu o Senhor Deus
Tudo quando havia feito o homem...
E no silêncio
Que envolvia os restos fumegantes,
Deus chorou.
( anônimo)