Deus existe?

A lógica é a higiene que o matemático pratica para manter as suas ideias saudáveis e fortes.

Hermann Weyl (1885-1955)

— Deus existe? — pergunta um estudante ao professor de Ló­gica.
Responde o professor:
— Deus existe se, e só se, tu nunca acreditares que Deus existe.
— Como assim? — volveu o aluno.
— Se Deus existe, então tu jamais acreditarás que Deus existe, mas, se Deus não existe, então tu acreditarás que Deus existe.
O estudante pestanejou. O professor passou ao segundo teo­- rema da incompletude de Gödel (abreviadamente TIG). De acordo com o TIG, todo o sistema axiomático consistente, suficientemente ­potente para desenvolver a aritmética elementar, sofre da sur­preendente limitação de nunca poder provar a sua própria con­sistência. Só usando um sistema mais forte tal pode ser conse­- guido. Um sistema consistente é aquele no qual tudo o que puder provar-se dentro dele é verdadeiro e onde não surgem contra­- dições.
O TIG, descoberto no começo do terceiro decénio do século xx, deixou a comunidade matemática em transe (v. «Crises da matemática», «Leituras suplementares iii»).
O matemático Weyl afirmou que a prova de que Deus existe reside no facto de a aritmética ser consistente e a prova de que o diabo existe está no facto de isso não poder ser provado.

O trabalho de Gödel fez ressaltar as limitações da lógica e dos métodos puramente formais na demonstração de verdades matemáticas intuitivamente óbvias. Programas como os de Whitehead e Russell, visando reduzir a matemática à lógica (elencos de deduções partindo de alguns princípios lógicos fundamentais), mereciam ­sérias reservas. A obra de Gödel gorou o ideal científico mais vasto de encontrar um pequeno número de axiomas bási­cos em termos dos quais todos os fenómenos naturais pudessem ser logicamente descritos.
O professor de Lógica acrescentou: todas as formulações axiomáti­cas consistentes da aritmética incluem proposições indecidíveis, isto é, que jamais poderão ser provadas ou refutadas.

Se/então

Russell discutia acerca de enunciados condicionais (do tipo «se/então»), afirmando que um enunciado falso pode implicar tudo o que se queira. Um ouvinte céptico observou-lhe:
«Quer dizer que, se 2 + 2 = 5, então o senhor é o papa?»
«Obviamente!», respondeu Russell, que argumentou assim: «Se aceitarmos que 2 + 2 = 5, concordará que, subtraindo 1 a cada um dos membros, obteremos 2 = 3. Então também 3 = 2. Sub­- traindo 1 a cada um dos membros, ficamos com 2 = 1. Visto que eu e o papa somos 2 e 2 = 1, o papa e eu somos 1. Logo, eu sou o papa!»
Em matemática, qualquer enunciado da forma «se A, então B», ou «A implica B», é falso só quando A é verdadeiro e B é falso e é verdadeiro sempre que:

1) B é verdadeiro, quer A seja verdadeiro ou falso;
2) A é falso, quer B seja verdadeiro ou não.