Puzzles lógicos

São ondas os corpúsculos?
Sim ou não?
São uma ou outra coisa, ou serão ambas?
São «ou» ou serão «e»?
Ou um tudo se passa como se?

António Gedeão, Poema de ser ou não ser

Existem dois princípios basilares em lógica: o princípio da não- -contradição e o princípio do terceiro excluído. Usados acriticamente, ­estes princípios podem originar problemas.
O princípio da não-contradição estabelece o seguinte:

Não é possível A e não A.

O princípio do terceiro excluído estabelece:

Ou A ou não A.

A propósito do princípio do terceiro excluído, lembramos uma história de Leo Rosten sobre um lógico tão sagaz que conseguia deslindar a mais árdua das questões. Reza que, durante uma festa, os alunos do sábio lógico o fizeram beber de tal modo que ele perdeu a sobriedade. Quando o lógico, muito alcoolizado, adormeceu, levaram-no para um cemitério e esconderam-se, esperando a sua análise da situação.
Que foi a seguinte:

Ou estou vivo ou não estou. Se estou vivo, então que faço aqui? Se estou morto, então por que quero ir à casa de banho?

Nesta história, o princípio é usado de modo inatacável e com algum humor. Na situação que se segue, o uso do princípio do terceiro excluído é algo desconcertante:

No meu próximo exame passarei ou não passarei. Se for verdade que passarei, não obstante o meu desleixo e cabulice, passarei. Se for falso, apesar de todo o meu estudo e afinco, não passarei.

De acordo com o princípio lógico do terceiro excluído, é uma verdade necessária que ou a previsão seja falsa ou verdadeira. ­Assim, parece estar já predeterminado agora o que acontecerá no ­futuro.
Aqui nada há de problemático no uso do princípio do terceiro excluído. Mas apenas o sem-sentido de afirmações da forma:

É verdade agora que determinado acontecimento ocorrerá no futuro.

Alguns matemáticos negam que o princípio do terceiro excluído seja uma lei da lógica. Estão neste caso os seguidores da chamada corrente construtivista (intuicionista, numa designação mais antiga). Não aceitam afirmações do tipo: ou existe uma série de oito cincos consecutivos no desenvolvimento decimal de  ou não existe. Por que não aceitam isto? Porque não existe uma demonstração construtiva desta existência, nem uma demonstração construtiva da sua não existência (v. «Leituras suplementares i»).

Exame de surpresa

Na segunda-feira de manhã, o professor de Matemática fez o seguinte aviso à turma:
— Darei, esta semana, um exame de surpresa e, na manhã do exame, os alunos não saberão que esse é o dia da prova.
Ao escutá-lo, um dos alunos retorquiu:
— O exame não poderá ser na sexta-feira porque, se o exame não tiver ocorrido até ao final da aula de quinta-feira, então na sexta-feira de manhã eu saberei que esse é o dia e o exame não será de surpresa. Assim, o dia de sexta-feira fica eliminado e quinta-feira é o último dia possível.
Mais, se não tiver havido exame até ao final da aula de quarta- -feira, eu sei que o exame terá lugar na quinta-feira e não será de surpresa, pelo que o dia de quinta-feira fica eliminado.
De igual modo, quarta-feira é eliminada, depois terça-feira e, final­mente, segunda-feira, dia do aviso do exame de surpresa. Logo, o professor não poderá cumprir o que disse!
A turma vibrou e concluiu em coro:
— Portanto, não haverá exame!
Ao que o professor respondeu:
— Agora, terão agora o exame!
Este problema é conhecido por paradoxo do exame inesperado e sobre ele têm sido escritos muitos artigos. Existe uma versão de um dia para este problema, pois a complicação de haver mais de um dia é irrelevante. Consiste no seguinte:
— Darei hoje um exame de surpresa.
Deverão os alunos objectar? Como?